《考研数学超强题型总结不怕你考不了高分共77页》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学超强题型总结不怕你考不了高分共77页（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 一 讲 求 极 限 的 各 种 方 法教学目的通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握 用等价无穷小量代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求limg( x)f (x) 极限 ；利用 Taylor 公式求极限；数列极限转化成函数极限求解1用等价无穷小量代换求极限重点2用罗必塔法则求极限难3用对数恒等式求limg ( x)f (x) 极限点4利用 Taylor 公式求极限5数列极限转化成函数极限求解1约去零因子求极限2分子分母同除求极限3分子 (母)有理化求极限4应用两个重要极限求极限教学5用等价无穷小量代换求极限 提纲6用罗必塔法则求极限7用对数恒等式求limg ( x)f (x
2、) 极限8数列极限转化成函数极限求解9n 项和数列极限问题10单调有界数列的极限问题第一讲 求极限的各种方法求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求limg ( x)f (x) 极限是重点，及时分离极限式中的非零因子是解题的重要技巧。1约去零因子求极限例 1：求极限4xlimx1 x11【说明】 x 1表明 x与1无限接近，但 x 1，所以 x 1这一零因子可以约去。2(x 1)( x 1)( x 1)2【解】 lim ( 1)( 1) 6li
3、m x xx 1 x 1x 12分子分母同除求极限例 2：求极限3xlim 3x3x2x1【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限 , 可通过分子分母同除来求。3 2 1x x 1 1xlim lim 【解】3 1x x 33 1 x 33x【评注】 (1) 一般分子分母同除 x 的最高次方；(2)limxnaxnb xmmanbmnx1mx111a0b00anbnmmmnnn3分子 (母)有理化求极限2 x 2例 3：求极限 lim ( 3 1)xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】limx2 2( x 3 x 1)limx(2x32x2x 1)(32x2x31
4、x21)例 4：求极限limx 01 tan x 1 sin x3x【解】1 tan x 1 sin x tan x sin xlim lim33x x x 1 tan x 1 sin0 x 0x 【注】本题除了使用分子有理化方法外， 及时 分离极限式中的非零因子 是解题的关键4应用两个重要极限求极限sin x两个重要极限是 1limx0 x11 1x n和 x exlim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) ，第一个重要极限x n x 0x n过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xlimx x11x【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，
5、再凑1X，最后凑指数部分。【解】2x 112x x 2x 1 2 1 22lim lim 1 lim 1 1 ex1 1x 1 x 1 xx xx2例 6：(1)x x1 x 2alim 1 ；(2)已知 lim 82x x x x a，求 a 。5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1) 常见等价无穷小有：x当 x 0 时, x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 x) e 1,1b 1 21 cosx x , 1 ax abx；2(2) 等价无穷小量代换 ,只能代换极限式中的 因式；sin x x x xlim lim 0 是不正确的 x 0 tan3x x
6、0x(3) 此方法在各种求极限的方法中 应作为首选。例 7：求极限limx 0x ln(1 x)1 cos x【解】x ln(1 x) x xlim lim 21x x0 1 cos x 0 x22.例 8：求极限sin xlimx 0 tan3xx【解】sin xlimx 0 tan3xx 21sin x x cos x 1 x2lim lim lim3 2 2x 0 x xx x 0 30 3x16例 9：求极限limx 0sin x sin sin x sin x4x.【解】(sin x sin sin x )sin x sin x sin sin xlim lim4 3x 0 x 0x
7、 xlimx 0cos x cos(sin x) cos x23x6用罗必塔法则求极限2ln cos 2x ln(1 sin x)例 10：求极限limx 0x2【说明】 或00型的极限 , 可通过罗必塔法则来求。【解】2sin 2x2ln cos 2x ln( 1 sin x) cos2x 1lim lim2x x0 x x 20sin 2x2sinx2x2 2x cos(t )dt0例 11：求 .lim10x x0sin【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解2 2x x2 2 2 2x cost dt x cost dt42x 2x cosx 0 0【解】 9lim l
8、im lim10 10x 0 x x0 10sin x x x0g( x)lim f (x) 极限 7用对数恒等式求2例 12：极限 xlim 1 ln(1 x)x 0【说明】（）该类问题一般用对数恒等式降低问题的难度（）注意 x 0时， ln( 1 x) x2【解】 lim 1 ln( 1 x) x =x 0limx 02 2ln 1 ln(1 x) 2 ln(1 x )ln1 ln(1 x) lim lim2e = 0 ex 0 e .x x xe x例 13：求极限x1 2 cos xlim 13x 30x.【解】 原式limx 0xlne2 cos x33x11limx 0ln2 co
9、s32xxx(1 x)lim【又如 】 xx x0e8数列极限转化成函数极限求解例 14：极限1lim nsinn n2n【说明 】这是 1 形式的的数列极限，由于 数列极限不能使用罗必塔法则 ，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。2 11 1x 121 sin 1 2x x sin y 1 x y y【解】考虑辅助极限 6lim x sin lim e lim e ex x y 0x2n 11所以， 6lim n sin enn9n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两
10、边夹法则求极限。例 15：极限limnn12212n1 1222n2n【 说 明 】 用 定 积 分 的 定 义 把 极 限 转 化 为 定 积 分 计 算 , 是 把 f (x) 看 成 0,1 定 积 分 。1 1 2 n1lim f f f f ( x)dx n n n nn 0【解】原式limn1n11 1 1221211nn2nn例 16：极限【说明】1 1 1limn 2 2 2n 1 n 2 nn(1) 该题与上一题类似，但是不能凑成1 1 2 nlim f f f 的形式，因而用两边夹法nn n n n则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
11、【解】1 1 1limn 2 2 2n 1 n 2 nn因为n 1112 2 2 2 nn n n 1 n 2 n nn21又n nlim lim 1n 2 n 2n n n 1所以1 1 1lim n 2 2 2n 1 n 2 n n1 2 n例 17：求 n n n 2 2 2limn 1 1n 1n n2 n【说明】该题需要把两边夹法则与定积分的定义相结合方可解决问题。【解】10单调有界数列的极限问题xn 1 n例 18：已知 1 n ，证明 limx ， x 1 , 211 xnn 1x 存在，并求该极限n【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在 .xn 1【解】 21 x 1n x1n 1该数列单调增加有上界，所以 limnx 存在，设 limnnx nx An 1对于 ,x 1 令 n ， A ! , 得n1 x 1 An 11 52即? lim xn n1 5 2例 19：设数列x 满足 0 x1 ,xn 1 sin xn(n 1,2, )n1（）证明 limnx 存在，并求该极限；（）计算n
