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1、练习11 简谐运动关于简谐运动11.1 什么叫简谐运动？简谐运动的特征量11.2 简谐运动的三个特征量是_，它是建立简谐运动方程的要素。试分析讨论:( 1) 下述简谐运动的角频率由哪些因素确定?单摆作简谐运动的=_ ;弹簧振子作简谐运动时的=_。( 2) 如何由初始条件确定振幅? 其表达式为A=_ 。初相位与哪些因素有关? 其表达式为=_。它们是怎样推导出来的?( 3) 证明周期T =2/。证明：从简谐运动的周期性特征可知 y=Acos(t+)=Acos(t+T)+ 表明式中的T=2，故 T =2/得证( 4) 已知谐振子的周期为T = 4s , 在t = 0时, y0 = 2cm, , 则此
2、谐振子的角频率、振幅和初相位分别为=_ rad/s ; A =_ ; =_。分析与解答 简谐运动的三个特征量是：振幅A，圆频率和初相位。（1） 单摆的圆频率=；弹簧振子的圆频率=;（2） ； （4）由y00,v00，分析初相位应在第四象限。相位与初相位11.3 借助于旋转矢量或参考圆(见图)来确定相位和初相位是非常简洁而形象的, 要认真研究、掌握这种方法。请用旋转矢量法确定谐振子在下列情况下的初相位或相位（设y 随t 按余弦规律变化）：( 1) 当t = 0时, 在+ A 处; ( 2) 当t = 0时, 在-A 处;( 3) 当t = 0时, 过平衡位置O, 且向y 轴正方向运动;( 4)
3、当t = t 时, 在+A/2处, 且向y 轴正方向运动;( 5) 当t = t 时, 在+A/2处, 且向y 轴负方向运动。分析与解答 在振动方程y=Acos(t + )情况下，图（b）给出了各问中旋转矢量的位置。（1）初相位；（2）初相位；（3）初相位；（4）相位；（5）相位。11.4 已知相位或初相位, 就可确定振子的运动状态, 即该时刻振子位于何处, 下一步向何处运动。试确定下列情况下振子的运动状态:( 1) 初相位( 2) 初相位( 3) 初相位( 4) 初相位( 5) t 时刻的相位( 6) t 时刻的相位( 7) t 时刻的相位分析与解答题设（1）（7）在旋转矢量图上的位量如图所
4、示。则：（1）位于+A/2点处，沿-y方向向平衡位置O点运动（2）位于+A/2点处，沿+y方向向+A运动（3）位于平衡位置0点处，沿-y方向向-A运动（4）位于平衡位置0点处，沿+y方向向+A运动（5）位于点处, 沿-y方向向平衡位置O点运动（6）位于点处, 沿+y方向向平衡位置O点运动（7）位于点处, 沿+y方向向平衡位置O点运动简谐运动方程11.5 甲、乙两个质点以相同的振幅和周期各自作简谐运动, 质点甲的运动方程为y 甲= Acos(t + ) , 当甲从y 轴正方向回到平衡位置时, 乙正在y 轴正方向端点, 试写出乙的运动方程, 并指明两者的相位差。分析与解答某时刻甲、乙两质点的旋转矢
5、量如题11.5图所示。 t+=t+/2且=，得 =-/2乙的运动方程为 Y乙= Acos(t + )= Acos(t + -/2) 题11.5图？两者的相位差 =-=/211.6 已知谐振子的周期为T = 4s , 在t = 0时, y0 = 2cm, , 则此谐振子的角频率、振幅A和初相位分别为多少？并列出其运动方程。分析与解答；故11.7 已知振动曲线如图所示，试求：( 1) 简谐振动方程；( 2) t = 0时振子的运动状态( 如何描述) ？( 3) t =3/2s 时的相位；( 4) 4s 内振子的位移和路程。 分析与解答（1） 由振动曲线可知：A=2cm，T=4s，则rad/s， 又
6、因t=0时，由 ，得，即，由于，故取初相位，则振动方程为 （2）当t=0时，振子位于=A/2处，并沿-y方向向平衡位置运动。（3）t=3/2s时的相位为 （4）由于T=4s，所以在4s内刚好完成一次完整的振动，即回到初始位置。因此，位移 ，所经历的路程S=4A=8cm。振动的速度和能量11.8 已知简谐运动方程y = Acos (t + ) , 则t 时刻的速度v = _;t 时刻的加速度a =_ 。并讨论:( 1) 简谐运动是什么性质的运动?( 2) y, v, a 的相位关系。( 3) 速度振幅是什么意思?分析与解答速度 v=dy/dt= -A sin(t + )= A cos(t + +
7、/2)加速度 a=dv/dt=-A cos(t + )= A cos(t + +)(1)简谐运动是振动系统在弹性力或准弹性力与惯性共同作用下的周期性变加速运动，其动能与势能不断地相互转化，总机械能保持不变。（2）若位移y的初相位用表示，则速度v的初相位是（+/2)；加速度a的初相位是（+）（3）速度振幅 =A表示物体运动速度的最大值。 11.9 质量m= 0. 1kg 的一弹簧振子, 按的规律运动。试求:( 1) 速度和加速度的最大值;( 2) t = 2s 时的相位;( 3) 任一时刻的动能Ek、弹性势能Ep和总能量E。分析与解答（1）由可知则同理 故 (2)t=2s时的相位为 (3)由于,
8、故,则综合练习11.10 质点的质量m= 2.510-3 kg , 其运动方程为试求: (1 ) 周期T、角频率和初位置y0 ;( 2) 当t = 0时质点所受的力;( 3) 当t =s 时的位移、速度和加速( 4) 动能的最大值。(1)圆频率= rad/s，周期T=2/=2s；初位置。(2)由加速度，得 t=0时的受力 （3）t=s时，位移速度加速度(4) 最大动能 11.11 作简谐运动的物体, 由平衡位置向y 轴正方向运动, 如图所示。试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几?( 1) 由平衡位置到最大位移处;( 2) 由平衡位置到y =A/2处; ( 3) 由y =A/2处到最
9、大位移处;( 4) 讨论以上结果。分析与解答设起点的方程为y1=Acost1，终点的方程为y2=Acost2,；两者的相位差为，则(1)由旋转矢量题11.11图可知，由位置1到位置3，故则所需的最短时间 为(2)同理，由位置1到位置2，则所需的最短时间为(3)由位置2到位置3，则所需的最短时间为（4）上述计算结果表明，在（2）（3）两种情况下，路程均为A/2，但所需时间却不同，虽然A/2是一个周期所经历路程的1/8，但所需时间不是T/8。这正是简谐运动是变加速运动的缘故。11.12 两个轻弹簧与物体相连如图所示, 弹簧的劲度上述系数分别为k1 , k2 , 物体的质量为m, 若不计一切摩擦,
10、试证明该系统的振动周期为分析与解答 首先我们需证明该系统经扰动后 是否做简协振动，然后才能求其周期。 取平衡位置O为坐标原点，y正方向如图所示，设物体扰动后移到点P，OP=y，弹簧1被拉长，弹簧2被压缩，对系统而言，伸长（或压缩）量相同，即，这相当于图11.12（b）所示的两个并接弹簧的情况，由于两个弹簧的劲度系数不同，故对物体的作用力不同，分别为k1y和k2y, 则两个弹簧对物体的总作用力为根据牛顿运动定律，物体沿y轴方向方程为即 式中，故可知该系统作简谐运动，其周期T应为 11.13 将劲度系数分别为k1和k2 的两个轻弹簧串接在一起, 并竖直地悬挂着, 下端挂一个质量为m的小球(见P113题11.13图)。试求该系统的振动周期。分析与解答两个轻弹簧串接的系统可以用等效弹簧系统来描述。设等效弹簧系统共伸长，由于受力相同，而k1和k2不同，则两弹簧的伸长量与就不同，且 (1)设两弹簧受力为F，则， (2)将式（2）代入（1），得
