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1、 2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥()第I卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 若复数满足,则等于( )A B C D考点:复数的运算。难度:易。分析:本题考查的知识点为复数的计算,直接套用复数运算公式即可。解答:。2. 等差数列中,则数列的公差为( )A1 B2 C3 D4考点:等差数列的定义。难度:易。分析:本题考查的知识点为复等差数列的通项公式。解答:。3. 下列命题中,真命题是( )A BC的充要条件是 D是的充分条件考点:逻辑。
2、难度:易。分析:本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。解答:A中,。 B中,。 C中,的充要条件是。 D中,可以得到,当时,不一定可以得到。4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱考点:空间几何体的三视图。难度:易。分析:本题考查的知识点为空间几何体的三视图,直接画出即可。解答:圆的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为圆;三棱锥的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图可以为全等的三角形;正方体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为正方形;圆柱的正视图(主视图)、侧视图(左视图)为矩形,俯视图为圆。
3、5. 下列不等式一定成立的是( )A BC D考点:不等式及基本不等式。难度:中。分析:本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。解答:A中,。 B中,;。 C中,。 D中,。6. 如图所示,在边长为1的正方形中任取一点,则点恰好取自阴影部分的概率为( )A B C D考点:积分的计算和几何概型。难度:中。分析:本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。解答:,。 所以。7. 设函数,则下列结论错误的是( )A的值域为 B是偶函数C不是周期函数 D不是单调函数考点:分段函数的解析式及其图像的作法。难度:中。分析:本题考查的知识点为分段函数的定义,单调性、奇偶性和周期性的定义和判
4、定。解答:A中,由定义直接可得,的值域为。 B中,定义域为,所以为偶函数。 C中,所以可以找到1为的一个周期。 D中,所以不是单调函数。8. 双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A B C3 D5考点:双曲线的定义。难度:中。分析:本题考查的知识点为双曲线的定义,焦点,渐近线,抛物线的定义。解答:抛物线的焦点为。 双曲线中,。 双曲线渐近线方程为。 所以焦点到渐近线的距离。9. 若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为( )A B1 C D2考点:线性规划。难度:中。分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出大致
5、图像。解答:可行域如下:所以,若直线上存在点满足约束条件,则,即。10. 函数在上有定义,若对任意,有,则称在上具有性质。设在1,3上具有性质,现给出如下命题:在上的图像时连续不断的;在上具有性质;若在处取得最大值1,则,;对任意,有。其中真命题的序号是( )A B C D考点:演绎推理和函数。难度:难。分析:本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误只需举出反例即可,说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立。解答:A中,反例:如图所示的函数的是满足性质的,但不是连续不断的。 B中,反例:在上具有性质,在上不具有性质。 C中,在上,所以,对于任意。 D中,。 第卷(非选择题 共100分
6、)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。11. 的展开式中的系数等于8,则实数_。【2】考点:二项式定理。难度:易。分析:本题考查的知识点为二项式定理的展开式,直接应用即可。解答:中含的一项为,令,则,即。12. 阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的值等于_。【】考点:算法初步。难度:易。分析:本题考查的知识点为算法中流程图的读法,直接根据箭头的指向运算即可。解答: ;结束。13. 已知的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_。【】考点:等比数列和余弦定理。难度:易。分析:本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用。解答:设三边
7、为, 则可得所对的边最大,且。14. 数列的通项公式,前项和为,则 _。【3018】考点:数列和三角函数的周期性。难度:中。分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组计算和。解答: , , ,所以。即。15. 对于实数,定义运算“”:,设,且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是_。【】考点:演绎推理和函数。难度:难。分析:本题考查的知识点为新定义的理解,函数与方程中根的个数。解答:由题可得, 可得, 且 所以时,所以。三、解答题:本大题共6小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16. (本小题满分13分) 受轿车在保修期内维
8、修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下: 将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为,生产一辆乙品牌轿车的利润为,分别求,的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。 考点:统计概率及随机变量。难度:易。分
9、析: 解答:(I)首次出现故障发生在保修期内的概率为(II)随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 (III)(万元) (万元) 所以应该生产甲品牌汽车。17. (本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。(1);(2);(3);(4);(5)。 (I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(II)根据()的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。考点:三角恒等变换。难度:中。分析: 解答:(I)选择(2):(II)三角恒等式为: (lby lfx)18. (本小题满分13分)如图,在长方体中,为中点。()求证:;()在棱上是否存在
10、一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由。()若二面角的大小为,求的长。考点:立体几何。难度:中。分析: 解答:()长方体中, 得:面面()取的中点为,中点为,连接 在中,面 此时()设,连接,过点作于点,连接 面, 得:是二面角的平面角 在中, 在矩形中, 得:19. (本小题满分13分)如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为8。()求椭圆的方程。()设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究: 在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。考点:三角恒等变换。难度:难。分析: 解答:(
11、)设 则 的周长为 椭圆的方程为()由对称性可知设与 直线 (*) (*)对恒成立, 得20. (本小题满分14分)已知函数 ()若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间;()试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。考点:导数。难度:难。分析: 解答:() 由题意得: 得:函数的单调递增区间为,单调递减区间为()设; 则过切点的切线方程为 令;则 切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ,且 (1)当时, 得:当且仅当时, 由的任意性,不符合条件(lby lfx) (2)当时,令 当时, 当且仅当时,在上单调递增 只有一个根 当时, 得:,又 存在两个数使, 得:又 存在使,与条件不符。 当时,同理可证,与条件不符 从上得:当时,存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点 21. 本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号中。(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换设曲线