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1、 2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（）第I卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若复数满足，则等于（ ）A B C D考点：复数的运算。难度：易。分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。解答：。2. 等差数列中，则数列的公差为（ ）A1 B2 C3 D4考点：等差数列的定义。难度：易。分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式。解答：。3. 下列命题中，真命题是（ ）A BC的充要条件是 D是的充分条件考点：逻辑。
2、难度：易。分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。解答：A中，。 B中，。 C中，的充要条件是。 D中，可以得到，当时，不一定可以得到。4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱考点：空间几何体的三视图。难度：易。分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
3、5. 下列不等式一定成立的是（ ）A BC D考点：不等式及基本不等式。难度：中。分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。解答：A中，。 B中，；。 C中，。 D中，。6. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A B C D考点：积分的计算和几何概型。难度：中。分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。解答：，。 所以。7. 设函数，则下列结论错误的是（ ）A的值域为 B是偶函数C不是周期函数 D不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法。难度：中。分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判
4、定。解答：A中，由定义直接可得，的值域为。 B中，定义域为，所以为偶函数。 C中，所以可以找到1为的一个周期。 D中，所以不是单调函数。8. 双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A B C3 D5考点：双曲线的定义。难度：中。分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。解答：抛物线的焦点为。 双曲线中，。 双曲线渐近线方程为。 所以焦点到渐近线的距离。9. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D2考点：线性规划。难度：中。分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致
5、图像。解答：可行域如下：所以，若直线上存在点满足约束条件，则，即。10. 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在1,3上具有性质，现给出如下命题：在上的图像时连续不断的；在上具有性质；若在处取得最大值1，则，；对任意，有。其中真命题的序号是（ ）A B C D考点：演绎推理和函数。难度：难。分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立。解答：A中，反例：如图所示的函数的是满足性质的，但不是连续不断的。 B中，反例：在上具有性质，在上不具有性质。 C中，在上，所以，对于任意。 D中，。 第卷（非选择题 共100分
6、）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。11. 的展开式中的系数等于8，则实数_。【2】考点：二项式定理。难度：易。分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可。解答：中含的一项为，令，则，即。12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的值等于_。【】考点：算法初步。难度：易。分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。解答： ；结束。13. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_。【】考点：等比数列和余弦定理。难度：易。分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用。解答：设三边
7、为， 则可得所对的边最大，且。14. 数列的通项公式，前项和为，则 _。【3018】考点：数列和三角函数的周期性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答： ， ， ，所以。即。15. 对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_。【】考点：演绎推理和函数。难度：难。分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数。解答：由题可得， 可得， 且 所以时，所以。三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分13分） 受轿车在保修期内维
8、修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： 将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。 考点：统计概率及随机变量。难度：易。分
9、析： 解答：（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为（II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 （III）(万元) (万元) 所以应该生产甲品牌汽车。17. （本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。考点：三角恒等变换。难度：中。分析： 解答：（I）选择（2）：（II）三角恒等式为： （lby lfx）18. （本小题满分13分）如图，在长方体中，为中点。（）求证：；（）在棱上是否存在
10、一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。（）若二面角的大小为，求的长。考点：立体几何。难度：中。分析： 解答：（）长方体中， 得：面面（）取的中点为，中点为，连接 在中，面 此时（）设，连接，过点作于点，连接 面， 得：是二面角的平面角 在中， 在矩形中， 得：19. （本小题满分13分）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（）求椭圆的方程。（）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究： 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。考点：三角恒等变换。难度：难。分析： 解答：（
11、）设 则 的周长为 椭圆的方程为（）由对称性可知设与 直线 （*） （*）对恒成立， 得20. （本小题满分14分）已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。考点：导数。难度：难。分析： 解答：（） 由题意得： 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）设； 则过切点的切线方程为 令；则 切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ，且 （1）当时， 得：当且仅当时， 由的任意性，不符合条件（lby lfx） （2）当时，令 当时， 当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 当时， 得：，又 存在两个数使， 得：又 存在使，与条件不符。 当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线
