第7章 直梁弯曲

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1、第 7 章 直梁弯曲本章要点 理解弯曲的概念和实例掌握截面法求剪力和弯矩 掌握剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 掌握横力弯曲（剪切弯曲）时正应力和切应力的计算 掌握横力弯曲变形的计算 掌握提高弯曲强度的措施 ,7.1 梁的类型及计算简图7.1.1 对称弯曲的概念承受设备及起吊重量的桥式起重机的大梁（图 7-1）、承受转子重量的电机轴（图 7-2） 等，在工作时最容易发生的变形是弯曲。其受力特点是：杆件都是受到与杆轴线相垂直的外 力（横向力）或外力偶的作用。其变形为杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。图 7-1 桥式起重机的大梁图 7-2 承受转子重量的电机轴工程中的梁，其横截面通常都

2、有一纵向对称轴。该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称 面（图7-3）。外力或外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形后的轴线在此平面内弯曲 成一平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。qaP纵向对称面丰轴线 二拓对称轴变形后的轴线rb图 7-3 对称弯曲7.1.2 梁上的载荷作用在梁上的载荷可以简化为以下三种类型：(1)集中力 ；(2)集中力偶 ；(3)分布载荷 如图 7-4a 所示。7.1.3 梁的基本形式1.简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。如图7-4a所示。2.外伸梁图 7-4 梁的类型梁的支座和简支梁相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外。如图 7-4b 所示。3.悬臂梁梁的一

3、端固定，另一端自由。如图 7-4c 所示。在对称弯曲的情况下，梁的主动力与约束反力 构成平面力系。上述简支梁、外伸梁和悬臂梁的约 束反力，都能由静力平衡方程确定，因此，又称为 静定梁。在工程实际中，有时为了提高梁的强度和刚度， 采取增加梁的支承的办法，此时静力平衡方程就不 足以确定梁的全部约束反力，这种梁称为静不定梁 或超静定梁。7.2 梁弯曲时的内力图 7-5 截面法求剪力和弯矩7.2.1 剪力和弯矩现以图 7-5 所示的简支梁为例来研究各 横截面上的内力。P、和P3为作用于梁上 的载荷，Ra和Rb为两端的支座反力。为了 显示出横截面上的内力，沿截面mm假想地 把梁分成两部分，并以左段为研究

4、对象。由 于原来的梁处于平衡状态，所以梁的左段仍 应处于平衡状态。作用于左段上的力，除外 力 RA 和 P1 外，在截面 m-m 上还有右段对它 作用的内力。把这些内力和外力投影于y轴, 其总和应等于零。一般说,这就要求截面m-m上有一个与横截面相切的内力Q,且由ZF =0，得：RA-P1-Q=0Q= RA-P(a)Q称为横截面m-m上的剪力。它是与横截面相切的分布内力系的合力。若把左段上的所有外 力和内力对截面m-m的形心0取矩，其力矩总和应等于零。一般说，这就要求截面m-m上 有一个内力偶矩，由工MO=0，得：M+P (x-a)-RAx=OnM=RAx-P (x-a)(b)M称为横截面mm

5、上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。从(a)式看出，剪力Q在数值上，等于截面mm以左所有外力在梁轴垂线(y轴)上投影 的代数和。从(b)式算出，弯矩M在数值上，等于截面mm以左所有外力对截面形心的力矩的 代数和。所以，Q和M可用截面mm左侧的外力来计算。如以右段为研究对象，用相同的方法也可求得截面mm上的剪力Q和弯矩M。且Q在数 值上，等于截面mm以右所有外力在梁轴垂线上投影的代数和；M在数值上，等于截面mm 以右所有外力对截面形心力矩的代数和。因为剪力和弯矩是左段与右段之间在截面mm上相 互作用的内力，所以，右段作用于左段的剪力Q和弯矩M,必然在数值上等于左段作用于右 段的剪力

6、Q和弯矩M,但方向相反。把剪力和弯矩的符号规则与梁的变形联系起来，规定如下：如图7-6a所示变形情况下, 截面的左段对右段向上错动时，截面上的剪力规定为正；反之，为负如图7-6b所示。如下图 7-6c所示变形情况，即在横截面mm处弯曲变形凹向下时，这一横截面上的弯矩规定为正； 反之，为负如图 7-6d 所示。图 7-6 剪力和弯矩的符号规则图 7-7 求梁各横截面上的内力根据上述规定可知：对某一指定的截面来说，在它左侧向上的外力，或右侧向下的外力将产 生正的剪力；反之，即产生负的剪力。至于弯矩，则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的 外力产生正的弯矩，而向下的外力产生负的弯矩。【例7-1】：图7

7、-7a示的悬臂梁AB，长为l，受均布载荷q的作用，求梁各横截面上 的内力。解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的B端为x处沿m-m截面将梁切开。现 取左段为研究对象，作出受力图如图7-7b示，由平衡方程求得内力:工F=0, -qx-Q=OnQ=-qxZMC=O, (qx2)/2+M=0nM=-(qx2)/2yC【例7-2】：如图7-8所示简支梁受集中力F=1000 N，集中力偶M=4 kNm和均布载荷q=10 kN/m的作用，试根据外力直接求出图中1T和2-2截面上的剪力和弯矩。凤 k*25卜仍0500麵图 7-8 求指定截面的剪力和弯矩解：(1 )求支反力M =0， Fx0.75 mF

8、 x1 mM+104N/mx0.5 mx0.25 m=OnF =-2000 NB Ay Ay口 =0, F F0.5q+F =0F =8000 Ny Ay By By(2)求截面内力由左侧外力计算1- 1 截面：Q =F = 2000NnM =F x0.2m= 2000Nx0.2m=400 Nm1 Ay 1 Ay2- 2截面： Q2=FAyFqx0.1=2000 N1000N104N/mx0.1 m=4000 NM2 =FAyx0.6 mFx0.35 m+Mqx0.1 mx0.05 m= 2000 Nx0.6m1000 Nx0.35 m+4000 Nm 104N/m x0.1 mx0.05 m

9、=2400 Nm由右侧外力计算1- 1 截面： Q1=FBy+qx0.5+F=8000 N+104N/mx0.5 m+1000 N=2000 NM1 = FByx0.8 mqx0.5 mx0.55 mMFx0.05 m=8000 Nx0.8 m 104N/m x0.5 mx0.55 m4000 N1000 Nx0.05 m=400 Nm2- 2截面： Q2=qx0.4FBy=10 kN/mx0.4 m8 kN=4000 NM2 = FByx0.4 mqx0.4 mx0.2 m=8000 Nx0.4 m104 N/mx0.4 mx0.2 m=2400 Nm两侧计算结果完全相同，但截面 1-1 上

10、的内力由左侧计算较简便，截面 2-2 上的内力则 由右侧计算较方便。由以上计算的结果可知，计算内力时可任取截面左侧或右侧，一般取外 力较少的杆段为好。7.2.2 剪力方程和弯矩方程以横坐标 x 表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为 x 的 函数，即：Q=Q(x) , M=M(x),这就是梁的剪力方程和弯矩方程。7.2.3 剪力图和弯矩图为了形象地表明剪力和弯矩沿梁轴的变化情况，可以用横坐标表示横截面的位置，而以 纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩，按一定比例尺，可分别绘出Q=Q(x)和M=M(x)的图形。 这两种图形分别称为剪力图(Q图)和弯矩图(M图)。作剪力图(Q图

11、)和弯矩图(M图)的一般步骤为： 作剪力Q-x和弯矩M-x直角坐标系，其中x轴平行于梁轴线，Q轴、M轴垂直于梁轴 线； 确定分段点，分段建立剪力方程、弯矩方程； 确定各分段点处截面上的剪力和弯矩的大小及正负，标在Q -x和M-x坐标系中得到相 应的点； 根据各段剪力方程、弯矩方程，在Q-x坐标中大致作出剪力图图形，在M-x坐标中大 致作出弯矩图图形。【例7-3】：试作出例 71 中悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解：（1）建立弯矩方程，由例 71 知弯矩方程为：Q=-qx，M=-（qx2）/2（0WxWl）（2）画剪力图和弯矩图 剪力方程为一元一次方程，其图象为一斜直线；弯矩方程为一元二次方程，其图

12、象为抛 物线。求出其极值点相连便可近似作出其剪力图和弯矩图，如图 7-7c 所示。x=0：Q=0， M=0； x=l：Q=-ql， M=-ql2/2【例7-4】：图 7-9a 所示简支梁，在全梁上受集度的均布载荷，试作此梁的弯矩图。 解：（1）求支反力：由EMA=O及EMB=O得FAy=FBy=ql/2（2）列弯矩方程：取A为坐标原点，并在截面x处切取左段为研究对象（图7-9b）,则上式表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图是一条抛物线。由均布载荷在梁上的对称分 布特点可知，抛物线的最大值应在梁的中点处。也可用求极值的方法确定极值所在位置即极 值的x坐标值，代入弯矩方程，求出弯矩的最大值。由三组特

13、殊点，可大致确定这条曲线的形状（图 7-9c）。【例7-5】：图7-10 a示的简支梁AB，在C点处受到集中力F作用，尺寸a、b和I 均为已知，试作出梁的弯矩图。解：（1）由静力平衡条件计算支反力：Mp=0， Fb-R l=0；=0， R-Fa=0BAA B由此得：R = Fb/l, Rd = FallAB(2)建立弯矩方程在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和CB两段分别建立弯矩方程。M(x)=Fbx/l(OWxWa)M(x)=Fbxl l-F(x-a)=Fa(l-x)l l(aWxWl)(3)由弯矩方程知，C截面左右段均为斜直线。AC 段 x=0，M=0； x=a，M=Fab/l

14、BC 段 x=a，M=Fab/l； x=l，M=0。作弯矩图如图7-10 b所示。最大弯矩在集中力作用处横截面C, M =Fab/l。 max【例7-6】：图7-11a示的简支梁AB,在C点处受到集中力偶M0作用，尺寸a、b和l图 7-11 作出梁的弯矩图均为已知，试作出梁的弯矩图。解：(1)求约束反力： FA=FB=M0/lA B 0(2) 建立弯矩方程 由于梁在 C 点处有集中力偶 M0 作用，所以梁应分AC和CB两段分别建立弯矩方程。AC 段：M=-Fx=- Mx/l(OWxWa) CB 段：A0M= M -Fx= M - Mx/l(aWxWl)0 A 00(3) 画弯矩图：由弯矩方程可

15、知，C截面左右均为斜 直线。AC 段： x=0， M=0； x=a，M=- M0a/l。 BC段： x=a，M= M0b/l； x=l， M=0。作弯矩图如图b所示。如ba，则最大弯矩发生 在集中力偶作用处右侧横截面上， Mmax= M0b/l 。 max 0 由以上例题的弯矩图可归纳出以下特点：1)梁上没有均布载荷作用的部分，弯矩图为倾斜直线。(2)梁上有均布载荷作用的一段，弯矩图为抛物线，均布载荷向下时抛物线开口向下()。3)在集中力作用处，弯矩图上在此出现折角(即两侧斜率不同)。4)梁上集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变的值即为该处集中力偶的力偶矩。从左至图 7-12 作梁的弯矩图右，若力偶为顺时针转向，弯矩图向上 突变，反之若力偶为逆时针转向，则弯 矩图向下突变。(5)绝对值最大的弯矩总是出现在： 剪力为零的截面上、集中力作用处、集 中力偶作用处。利用上述特点，可以不列梁的内力 方程，而简捷地画出梁的弯矩图。其方 法是：以梁上的界点将梁分为若干段， 求出各界点处的内力值，最后根