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1、皮尔逊（P）型曲线1、皮尔逊型曲线的概率密度函数 皮尔逊型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为: （4-4-8） 式中：（）的伽玛函数； 、a0分别为皮尔逊型分布的形状尺度和位置未知参数， 0， 0 。显然，三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。可以推论，这三个参数与总体三个参数 、Cv、CS具有如下关系： （4-4-9） 2、皮尔逊型频率曲线及其绘制 水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即: （4-4-10） 求出等于及大于xp的累积频率P值。直接由式（4-4-10）
2、计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式: （4-4-11） 式（4-4-11）中被积函数只含有一个待定参数CS，其它两个参数 、Cv都包含在 中。 ，x是标准化变量，称为离均系数。 的均值为0，标准差为1。因此，只需要假定一个CS值，便可从式（4-4-11）通过积分求出 与 之间的关系。对于若干个给定的CS值， 的对应数值表，已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表1皮尔逊型频率曲线的离均系数 值表。由 就可以求出相应频率 的x值： （4-4-12）附表1 皮尔逊型频率曲线的离均系数 值表（摘录） P（%）Cs0.115205080959999.90.03.09
3、2.331.640.840.00-0.84-1.64-2.33-3.090.13.231.672.00.84-0.02-0.85-1.62-2.25-2.950.23.382.471.700.83-0.03-0.85-1.59-2.18-2.810.33.522.541.730.82-0.05-0.85-1.55-2.10-2.670.43.672.621.750.82-0.07-0.85-1.52-2.03-2.540.53.812.681.770.81-0.08-0.85-1.40-1.96-2.400.63.962.751.800.80-0.10-0.85-1.45-1.88-2.270
4、.74.102.821.820.79-0.12-0.85-1.42-1.81-2.140.84.242.891.840.78-0.13-0.85-1.38-1.74-2.020.94.392.961.860.77-0.15-0.85-1.35-1.66-1.904.533.021.880.76-0.16-0.85-1.32-1.59-1.793、皮尔逊型频率曲线的应用 在频率计算时，由已知的CS值，查 值表得出不同的P的 值，然后利用已知的 、CV，通过式（4-4-12）即可求出与各种P相应的 值，从而可绘制出皮尔逊型频率曲线。 当CS等于CV的一定倍数时,P-型频率曲线的模比系数KP = ,
5、也已制成表格,见附表2皮尔逊型频率曲线的模比系数KP值表。频率计算时，由已知的CS和CV可以从附表2中查出与各种频率P相对应的KP值，然后即可算出与各种频率对应的 =KP 。有了P和 的一些对应值，即可绘制出皮尔逊型频率曲线。附表2 皮尔逊型频率曲线的模比系数KP值表 （摘录，CS = 2CV）P（%）Cs0.1152050759095990.051.161.121.081.041.000.970.940.920.890.101.341.251.171.081.000.930.870.840.780.201.731.521.351.160.990.860.750.700.590.302.191
6、.831.541.240.970.780.640.560.440.402.702.151.741.310.950.710.530.450.300.503.272.511.941.380.920.640.440.340.210.603.892.892.151.440.890.560.350.260.130.704.563.292.361.500.850.490.270.180.080.805.303.712.571.540.800.420.210.120.040.906.084.152.781.580.750.350.150.080.021.006.914.613.001.610.690.290.110.050.014.4.5 频率与重现期的关系频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出指定频率p的设计值xp。由于频率较为抽象，水文上常用重现期来代替频率。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系有两种表示方法。1、当为了防洪研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P50，则: （4-4-14） 式中：T重现期，年； 频率，。（2）当考虑水库兴利调节研究枯水问题时，设计频率P50，则 （4-4-15）1仅供参照、
