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1、WORD文档第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即a, a 0,|a | 0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a和数 b 之间的距离2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式 f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。 f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。2 2f (x) g
2、(x) f (x) g (x)。（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：找到使多个绝对值等于零的点分区间讨论，去掉绝对值而解不等式一般地 n 个零点把数轴分为 n1 段进行讨论将分段求得解集，再求它们的并集例 1. 求不等式 3x 5 4的解集例 2. 求不等式 2x 1 5的解集例 3. 求不等式 x 3 x 2 的解集例 4. 求不等式 | x2| | x1| 3 的解集1专业资料例 5. 解不等式 | x1| |2 x| 3x例 6. 已知关于 x 的不等式 | x5| | x3| a 有解，求 a 的取值范围练习解下列含有绝对值的不等式：（1） x 1 x 3 4+x（2）| x+1|
3、 x2|（3）| x1|+|2 x+1|4（4） 3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字
4、相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：2（1）x 3x2； （2）26x 7x 2（3）2 ( ) 2x a b xy aby ； （4） xy 1 x y 2提取公因式法例 2. 分解因式：2 （2） x3 9 3x2 3x （1） a b 5 a 5 b3公式法例 3. 分解因式： （1） a4 16 （2）23x 2y x y24分组分解法2例 4. （1） x xy 3y 3x（2）2 22x xy y 4x 5y 65关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c( a0) 的因式分解若关于 x 的方程2 0( 0)ax bx
5、 c a 的两个实数根是 x1 、 x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例 5. 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）2 2 1x x ； （2）2 4 4 2x xy y 3练习（1）2 5 6x x （2）2 1x a x a （3）2 11 18x x（4）24m 12m 9 （5）25 7x 6x （6）2 212x xy 6y2 q p（ 7 ） 6 2p q 11 2 3 （ 8 ）3 5a2 b 6ab2a （ 9 ）2 4 24 x x2（10） x4 2x2 1 （11） x2 y2 a2 b2 2ax 2b
6、y（12） a2 4ab 4b2 6a 12b 9 (13) x22x1（14）3 1a ； （15）4 24x 13x 9 ；（16）2 2 2 2 2b c ab ac bc ； （17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax bxc0（a0），有:（1） 当0 时，方程有两个不相等的实数根 x1 ，2，22 4b b ac2a；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根 x1x2b2a；（3）当 0 时，方程没有实数根(2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax bxc0（a0）的两根分别是 x
7、1，x2，那么 x1x2ba，x1 x2ca这一关系也被称为韦达定理2、二次函数2y ax bx c的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb2a，顶点坐标为2b 4ac b， 。2a 4a当 xb2a时，y 随 x 的增大而减小； 当xb2a时，y 随 x 的增大而增大； 当xb2a时，y 有最小值24ac b4a。42. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb2a，顶点坐标为2b 4ac b， 。当2a 4axb2a时， y 随x 的增大而增大；当xb2a时， y 随 x 的增大而减小；当xb2a时， y有最大值24ac b4a .3、二次函数与一元二次方程：二次函数与
8、一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况） ：一元二次方程2 0ax bx c 是二次函数2y ax bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当2 4 0b ac 时，图象与 x 轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2 ，0 (x1 x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程2 0 0ax bx c a 的两根。这两点间的距离AB x x2 12b 4aca. 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当 0 时，图象与 x 轴没有交点 .1 当 a 0 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0 ；2 当 a 0 时，图象落在x 轴的下方
9、，无论x 为任何实数，都有 y 0 。2例 1. 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x 5x30 的两根（1）求 | x 1x2| 的值； （2）求1 12 2x x1 23 x 3的值；（3）x1 22 2y mx x m m x例 2. 函数 （ 是常数）的图像与 轴的交点个数为（ ） 0 个 1 个 2 个 1 个或 2 个 2 5 2 5 x y mx mx m x例 3. 关于 的方程 有两个相等的实数根，则相应二次函数 与 轴mx mx mm 必然相交于 点，此时 2 (2 1) 6y x m x m x例 4 . 抛物线 与 轴交于两点 (x，0) 和 (x2，0)，若
10、x1x2 x1 x2 49，要使抛物线1经过原点，应将它向右平移个单位x y 2mx2 (8m 1)x 8m x m例 5. 关于 的二次函数 的图像与 轴有交点，则 的范围是（ ）1 1 1 1m m m 0 m m m 0 且 且16 16 16 165练习3. 一元二次方程 ax 1 和 x2求：2bxc0（a0）的两根为 xx x（1）| x 1x2| 和 1 223 3；（2）x1 x22y (k 2)x 7x (k 5) x4. 如图所示，函数 的图像与 轴只有一个交点，则交点的横坐标 x 025. 已知抛物线 y ax bx c与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A( x，0
11、)，B(x，0)( x x ) 两点， 顶点 M 的1 2 1 22 2( 1) 2 7 02 24 x1 x2 x m x m x1 x2 10 纵坐标为 ，若 ， 是方程 的两根，且 （1）求 A， B两点坐标；C（2）求抛物线表达式及点 坐标；y ax2 c xx x x6. 若二次函数 ，当 取 x 、 x （ ）时，函数值相等，则当 取 x x 时，函数值为1 2 1 2 1 2（ ）a c a c c c 1 12 2y x bx c x5、已知二次函数 ，关于 的一元二次方程 x bx c 0 的两个实根是 1和 5 ，2 2则这个二次函数的解析式为第三讲 一元二次不等式的解法1
12、、定义：形如 ax2+bx+c0（a0）（或 ax2+bx+c0（a0） 的不等式做关于 x 的一元二次不等式。2 、一元二次不等式的一般形式：ax2+bx+c0（a0）或 ax2+bx+c0（a0）3 、 一元二次不等式的解集： 2 -4 ac 0 =0 0=byy y2+bx+c 0 y=ax（a0）的图象x1Ox2xOxx1 (x2) Ox6ax 2+bx+c=02+bx+c=0x1=2 4b b ac2a（a0）的根x2=2 4b b ac2ax1= x 2=-b2a没有实数根ax 2+bx+c02+bx+c0（a0）的解集x x1 或 xx2（x1x2）x -b2a全体实数ax 2+bx+c02+bx+c0x1xx2无解 无解（a0）的解集 （x1x2）4、解一元二次不等式的一般步骤：（1）将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c0（a0）（或 ax2+bx+c0（a0）；（2）计算=b2-4 ac；（3）如果 0，求方程 ax2+bx+c=0（ a0）的根；若 0，方程 ax2+bx+c=0（a0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。例 1. 解下列不等式：（1）4x2-4 x15； （2）- x2-2 x+30；
