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1、自动控制原理课程设计之二基于状态空间法单级倒立摆的控制系统设计一、单级倒立摆介绍倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，是控制 理论的典型研究对象。如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中垂直度控制 和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题对倒立摆系统的研究在理论上和 方法论上均有着深远意义。单级倒立摆系统的原理图，如图1所示。假设已知摆的长度为21,质量为m, 用铰链安装在质量为 M 的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对 小车施加控制力u相对参考系差生的位移s。若不给小车实施控制力，则倒置 摆会向左或向右倾倒，因此，它是个不稳定的系统。控制的目的是通过控制力u
2、 的变化，使小车在水平方向上运动，达到设定的位置，并将倒置摆保持在垂直位 置上。已知单级倒立摆的各项数据如下所示：M = 2kg,m = 0.1kg,l = 0.5m,I = 0.025kgm2, g 二 9.8m/ g图 1 单级倒立摆模型二、控制系统设计任务1、查阅文献， 建立单级倒立摆的状态空间数学模型。 取状态变量x =s s 0 話。测试系统的开环特性。2、用 Mat1ab 分析系统能控性，能观性及稳定性。3、通过状态反馈配置改变闭环系统极点。闭环极点自行决定。采用极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为：摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒位移的上升时间小于1秒 角度的超调量小
3、于20度 位移的稳态误差小于 2%。4、 假设系统的状态xs 0 0】均无法测量，为实现上述控制方案建立系统的全维观测器，观测器极点自行决定。采用带有观察器极点配置 后，闭环系统的响应指标满足如下要求为： 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒 位移的上升时间小于1秒 角度的超调量小于20度 位移的稳态误差小于 2%。5、 假设系统的状态xs 0 0】中，只用位移s可以测量，其他状态变量均无法测量，为实现极点配置，建立系统的降维观测器，观测器极 点自行决定。采用带有观察器极点配置后，闭环系统的响应指标满足 如下要求为： 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒 位移的上升时间小于1秒 角度的超调量小
4、于20度 位移的稳态误差小于 2%。6、（选作）设计LQR （Linear Quadratic Regulator，线性二次型调节器）控制方案，使得倒立摆系统闭环稳定，并有较好的抗干扰性。用状态反 馈法设计控制器，使得当在小车上施加阶跃信号时，闭环系统的响应 指标为： 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒 位移的上升时间小于1秒 角度的超调量小于20度 位移的稳态误差小于 2%。三、课程设计报告要求车的水平位移： s杆质心位置：s+lsin9摆杆绕其重心的转动方程为J 9 = U l sin 9 - U l cos 9(1)Yx摆杆重心的水平运动可描述为U = m (s +1 sin 9) x
5、 dt2)摆杆重心在垂直方向上的运动描述为mgd2m -dt2(lcos9)3)分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：d 2 sdt 24)由式 2 和式 4 得到(M + m) s + ml(cos9 -9- sin9 - (9)2)= U(5)由式1，式2 和式3得到(J + ml2)9+ mlcos9 - K = mlgsin9(6)近似处理:当9很小时有sin9, cos9 u 1, 9 2u 0.将这些条件带入式5式6联立可得: x=(J + ml 2)U m 212 g9J (M + m) + mMl 29 = (M + m)m lg 9 mlUJ (M + m) + mM
6、l 2定义： x1=s,x2=s, x3=9, x4=9得到0-m 212 gJ (M + m) + mMl 2 0(M + m) gmlJ (M + m) + mMl 2X 1X2 +X3X4- 0 _J + ml 2J (M + m) + mMl 2 0 -mlJ (M + m) + mMl 20010u把 M = 2kg, m = 0.1kg, l = 0.5m, I = 0.025kgm 2, g = 9.8m / g 带入得X1X2X3X4=Ax+Bu=00y=010000100 - 0.239000 10ux1X2X3X4画出状态空间模型为：2、给出位移及角度开环特性曲线。)2(t
7、uO:o edutilpmAGx=tf(num1,den1) step(Gx)Gj=tf(num2,den2)Step(Gj)M=ctrb(A,B) m=rank(M) N=obsv(A,C) N=rank(N) eig(A)3、给出系统能控能观及稳定性分析。程序：clear allA=0,1,0,0;0,0,-0.239,0;0,0,0,1;0,0,10,0;B=0;0.488;0;-0.488;C1=1 0 0 0;C2=0,0,1,0;C=C1;C2;D=0;num1,den1=ss2tf(A,B,C1,D) ;num2,den2=ss2tf(A,B,C2,D) ;位%移的传函画位%移的
8、开环特性曲线角%度的传函画角%度的开环特性曲线构造% 能控判别矩阵求能%控判别矩阵的秩构造%能观判别矩阵 求能%观判别矩阵的秩求A阵的特征根，用利亚普及诺夫第一判别法判断稳定性MATLAB运行结果：/位移的传函Transfer function:-4.441e-016 sA3 + 0.488 sA2 - 1.776e-015 s - 4.763sA4 - 10 sA2/角度的传函Transfer function:-0.488 sA2sA4 - 10 sA200.488000.48800-0.488000.116600.11660-4.8800-0.48800-4.8800m =4%M 的秩r
9、ank(M ) 4,满秩，故能控1.000000001.000001.00000000 1.00000-0.239000 0 10.000000000-0.23900 10.0000%N 的秩rank (N) = 4,满秩，故能观ans =003.1623-3.1623 因为不是所有特征根都具有负实部，所依系统不稳定。4、推到极点配置过程，给出反馈矩阵 K由性能条件：摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒 角度的超调量小于 20 度可以得 = e卞 /-1-?2 20/90 n 沦 0.4 3 24t = 5n w n 0.8s wnn在 MATLAB 里编程实现性能指标的求取：function
10、 xingneng(zu,wn) %传递的参数是G 和 n p=acos(zu);wd=wn*sqrt(1-zuA2);tr=(pi-p)/wd%位移的上升时间tp=pi/wdchao tiao=exp(-pi*zu/sqr t( 1-zuA2)%角度的超调量ts=4/(zu*wn)%位移和角度的调节时间x1=-zu*wn+wn*sqr t( 1-zuA2)*j%主导极点 x1x2=-zu*wn-wn*sqr t( 1-zuA2)*j%主导极点 x2取满足上述条件的极点：x1=-1.8+2.4i;x2=-1.8+2.4i;x3=-4;x4=-18在M ATLAB里输入如下指令：A=0,1,0,
11、0;0,0,-0.239,0;0,0,0,1;0,0,10,0B=0;0.488;0;-0.488Clp=x1,x2,x3,x4;K=place(A,B,clp)求得 K=134.5, 95.2,480.8,147.685、给出极点配置后的位移及角度闭环效果曲线。1x4 亠1thetass极点配置后的角度闭环效果曲线图：6.推到全维及降维观测器建立过程，给出输出反馈阵 G。MATLAB 程序：A=0,1,0,0;0,0,-0.239,0;0,0,0,1;0,0,10,0;C1=1 0 0 0;0,0,1,0;clp=-1.8+2.4i;-1.8-2.4i;-4;-18;G=place(A,C,
12、clp);G=G求得G =21.1631 -0.654758.6835 2.9422-3.0850 4.4369-25.9031 19.6381位移闭环效果图：角度闭环效果图：6、给出基于全维及降维观测器实现极点配置后的位移及角度闭环控制x4=9得到:效果曲线。X1X000- 0.239 1 X 11X0.488 100010-0.4882=Ax+Bu=100020XX33X40100X40u1x3=s,X2=9，重新选择状态变量 x1= s ,xy=2X3X4T -i =0iT 二 T-i00iA = T -i AT = AB = T -i B = BC = CT = C11,A0 - 0.2391 o -0 0_, A 21 =, A 22 =0 10210 1220 0B10.488 -, B- =0 _0.4882012输入如下MATLAB命令求取G
