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1、第四节 瞬时单位线的汇流计算1945年，C. O.克拉克(C. O. Clark )提出瞬时单位线的概念之后，1957年J. E.纳西 ( J. E. Nash )进一步推导出瞬时单位线的数学方程，用矩法确定其中的参数，并提出时段转换等 一整套方法，从而发展了 L. K.谢尔曼(L. K. Serman )提出的单位线法。目前J. E. Nash瞬时 单位线法在我国已得到比较广泛的运用。所谓瞬时单位线就是指无穷小时段内流域上均匀的单位净雨 所形成的地面径流过程线。可用数学式表示，瞬时单位线的纵标值通常以u (0, t)表示。一、瞬时单位线的原理1、 IUH 概念流域上输入一个单位净雨后，在流域
2、出口的出流过程就是IUH，前述UH法中入流时段D t ? 0的UH就是IUH。由此可见，IUH与UH 一样，同样是流域汇流曲线和线性时不变系统。用IUH 来计算出流也符合径流成因公式。Q(t)=蝌t ?At )i(t)dt = t ?A(t )i(t- t)dto抖o t耳 :流域汇流曲线，或流域瞬时单位线，令马 = u(t)，则上式可写成更紧凑的型式： 勺t勺tQ(t) = O t u(t)i(t )dt02、瞬时入流与出流过程IUH的瞬时入流，取为脉冲函数d(t)，它具有下列特性:t 0d(t ) =O+? d(t)dt= 1 0t e在其它时间均为0。tfh) 瞬时入流与出流的关系脉冲函
3、数d(t)在瞬间具有最大值，且为1个单位, 出流为IUH，具有单峰型，也具有以下特性。骣t 0u (t )=卡峰值吵 u (t) 0t0桫t O + ? u(t)dt = 1-?可见入流d(t)与出流IUH的水量是相等的。二、瞬时单位线的推导Nash 认为流域汇流如同物理中的系统一样，系统中有输入，就有系统的输出。假设了一个流域汇流模型，将流域调蓄作用用n个串联的线性水库来拟合，出流断面流量是净雨经这n个线性水库调 蓄的结果。见下图，线性水库就是出流量与蓄量成线性关系，W= KQ，且假定n个水库的K均i i i i相等，K = K = K = LL K，入流为h(t)。对于第一个水库有:1 2
4、 n|h(t)- Q(t)=字i1 dtIW = KQ (t)1 1 1 1用微分运算符D表示d / dt，可得： =為h(t)1第二个水库为Q2 =i+ Kdqi=i+ KD111+K Dh(t)2经 n 个水库调蓄，出口断面的流量过程为：? L L1+ K D 1+ K D 1+ K D1 2 3岛h(t)n因为是相同的n个线性水库，即假定K =K = K = L L K ，故：1d(t)Q(t)=丄 h(t)根据IUH定义上式可写成：U(t)=(i+ kd)n当h(t)为极小时段(瞬时)的单位净雨，Q(t)即为瞬时单位线，应用脉冲函数及拉普拉斯变换, 可得出瞬时单位线的基本公式为：u(t
5、 ) =丄譽K G(n)桫Kn- 1G(n) = (n- 1)!，Gn)为n的伽马函数；n 相对于水库数或调节次数；K 相对于流域汇流时间的参数；IUH的S曲线就是IUH的累积曲线，因此IUH的S曲线为：S(t)= 6 tu(t)dt0=6 -骣厂 e- :dt0 KG(n)桫K 匸当n为正整数时用分部积分法可得：S(t) = 1- e- K笛补桫i= 0S 曲线可参考有关附表，当 n 为非正整数时不能得到上式，可用近似计算求值。时段单位线用u(D t, t)表示，D t为时段长，t为时段，时段长为D t的单位线为：u(Dt,t)=蝌tu(t)dt-t- Dtu(t)dt = S(t)- S(
6、t- Dt)此时段单位线也就是汇流系数。u(D t, t)= S(t)- S(t - D t)三 不同时段单位线的转换所差异(见图)。图中1小时10mm净雨的单位线峰现时间早，洪峰也高；3小时10mm净雨的单位线峰如流域上有10mm的净雨，但净雨历时不同，也即雨强不同，则形成的单位线面积相同而形状有tfh)不同时段单位线比较图现时间较迟，洪峰较低；。因此，需要转换单位线的 时段长，满足不同时段净雨的推求流量过程的要求。单位 线的时段转换常采用S曲线法来解决。假定流域上降雨持续不断，每一单位时段有一单位净雨,则可以求得出口断面的流量过程，该过程线称S曲线。 用单位线连续推流即可求得S曲线(见表)
7、。由下表所列计 算过程可知，S曲线就是单位线的累积曲线，可由单位线 纵坐标值逐时段累加求得。有了 S曲线后，就可以利用S曲线转换单位线的时段长。如果已有时段长为6小时的单位线，需要转换为3小时的单位线，只须将时段长为6小时的S曲线往后平移半个时段即3小时(见图)，则两根S曲线之间各时段的流量差值过程线相当于3小时5mm 净雨所形成的流量过程线q惟)。把q惟)乘以 2即为3小时10mm的单位线。计算如表所示。 同理，可将6小时转换为9小时单位线见表 第(8)栏。用数学表达式表示为：q(Dt,t)= Dt0S(t)- S(t- Dt)Dt式中q(D t, t)所求的时段单位线；D t 原来单位线时
8、段长， h；0Dt 所求单位线时段长， h；S(t)时段为D t的S曲线；0S(t - D t)移后D t的S曲线；S曲线计算表时段单位线q净雨深h部分径流(m3/s)S曲线 (m3/s)(t=6h)(m3/s)(mm)h =104h =10ch =10oh =104 (1)(2)(3)(4)(5)001000143010430043026301063043001060340010400630430014604270102704006304301730518010180270400630611810118180270400770107011818027084040701181809161640
9、701181000164070016400160由6h单位线转换成12h单位线和3h单位线计算表时 间6h单位线S(t)S(t-12)S(t )-S( t-12)12h单位线S*S(t-3)S(t)-S(t-3)3h单位线(h)(m3/s)(m3/s)(m3/s)(m3/s)(m3/s)(m3/s)(m3/s)(m3/s)(m3/s)(2)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)000000003303661818189183153098218641281214015801587915882761521521215854108188524318225112.52432123162212
10、672432448243828115812361.52812671428272882817143092902434723.5290288243329129012362292281115.529229112392922920042029229021292292452922924829200292292注：表中有“*” 一栏的数值，是在由6h单位线求得的S曲线上按3h读数所得。对于IUH来说，瞬时单位线是瞬时入流的出流过程，但流域上都是时段净雨，因此，IUH不 能直接应用，通常用S曲线将其转换成时段单位线，才能应用。IUH 的 S 曲线：由前面UH可知，S曲线就是UH的累积曲线，因此IUH的S曲线
11、为：S(t)= 蝌 u(t)dt =0丄骣L-1 e0 KG(n)桫tK dt ，当 n 为正整数时用分部积分法可得：S(t)= 1-J- n- 1 1 骣丄 ai!桫 土i= 0S曲线见附表，时段单位线用u(D t, t)表示，D t为时段长，t为时段，则时段长为D t的单位线为：u(Dt,t)=蝌tu(t)dt- t-DDu(t)dt = S(t)- S(t- Dt)00时段单位线也是汇流系数： u(Dt,t)= S(t)- S(t- Dt)四 参数 n、K 的推求矩法：IUH 只有两个参数，纳西用矩法严格地解出参数 n、K 值。IUH的一阶原点矩M (i)和二阶中心矩N为：uuM (1)
12、 = nK uN (2) = nK 2u另外又可证明出流Q(t)、净雨h(t)及u(0,t)的一阶原点矩和二阶中心矩之间的关系为：M (1) = M (1) + M (1) QhuN (2) = N (2) + N (2)Qhu式中：M、M (1)、N、N分别为出流Q及净雨h的一阶原点矩、二阶中心矩。可通QhQh过实测出流断面流量过程及净雨过程求得。这样，在上面四个式子中有四个未知数，M、N、 uu n、K ，可求解确定 n、K 值。K = NM (1) uM (1)2n = wN (2)uO +? tu(t)dtM (1) =0=蝌 tu (t)dt =u O + ? u ( t ) dt00骣?(L )n-1 e- ：dt0 KG(n) K-t骣 Ke K fiK =丽 0Kn!K 蝌G(n) o=- G(n + 1)= nKG(n)(n - 1)!+?j骣k d fiK瞬时单位线的二阶中心矩 N (2) uO +? tu(t)dt = nK0由于：蝌? 12u(t)dt =?00 KG(n)K2K21 te - K dt =亘?骣(n+2)-1 e :d(厶G(n) 0 桫CK= G(n + 2)=(n + 1)nG(n)
