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1、 第四章 变形体静力学基础 从本章开始,讨论的研究对象是变形体,属于固体力学的范畴.在前面各章中，我们将物体视为不发生变形的刚体,讨论其平衡问题。事实上，物体在力的作用下，不但或多或少总有变形发生，而且还可能破坏.因此，不仅要研究物体的受力,还要研究物体受力后的变形和破坏，以保证我们设计制造的产品或结构能实现预期的设计功能和正常工作。要研究固体的变形和破坏,就不再能接受刚体假设,而必须将物体视为变形体。作用在刚体上的力矢量可以认为是滑移矢，力偶矩矢是自由矢，是因为没有考虑物体的变形.对于变形体,力矢量不再能沿其作用线滑移，力偶矩矢也不再能自由平移，因为它们的作用位置将影响物体的变形。变形体静力
2、学研究的是平衡状态下，变形体的受力和变形问题。. 变形体静力学的一般分析方法 在第一章中，已经简要地介绍了以变形体为对象的静力学基本研究方法。即需要进行下述三个方面的研究： 1）力和平衡条件的研究。 2)变形几何协调条件的研究。图4.1 例4-1图ABLLaaWABFAF=0xWFBhAhB ）力与变形之关系的研究。 在开始讨论变形体静力学问题之前,先以一个例子进一步说明变形体静力学问题研究的一般方法。例4.1 长的木板由二个弹性常数为的弹簧支承，如图41所示.弹簧的自由长度为h，既能受压,也能受拉。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板与地面刚刚接触时，人所走过的距离x.解：设人重为W，板重
3、与人重相比较小，忽略不计。讨论板与地面刚刚接触的临界状态，此时F=0;弹簧B受压缩短，弹簧A受拉伸长，板受力如图所示. 1) 力的平衡条件: 由平衡方程有： SFy=FBFA-= -（1） SM（F )=2-（a）W=0 -（2） 如果x已知，弹簧反力FA、FB即可求得.现在x未知，只考虑力的平衡不能解决问 题,需考虑变形。板与弹簧相比刚硬得多，可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。 ）变形几何协调条件：弹簧变形如图所示，刚性板要保持为直板，则二弹簧变形后应满足的几何条件是： hB/A(La)(La) （0) (3) 弹簧A、B的变形为 dAhh （图中假定为受拉伸长）; -（4） 及 dB=h （
4、图中假定为受压缩短)。 -（5) ） 力与变形间的物理关系：对于弹簧,力与变形间的关系为： AkdA； -(6) 及 FB=d; -（7） 综合考虑问题的平衡条件、变形几何关系和物理关系后，得到上述七个方程,可求出FA、FB、dA、dB、h、hB、和等全部七个未知量。 解得:板刚刚触地时，人所走过的距离为：-() 此时,二弹簧的变形为：-(b); 讨论：由所得到的结果（a）式可知，之值与a2成正比，与板长成反比.此外，必需注意前面讨论的情况是xx时，变形几何协调条件（3）不适用，故（a）式中括号内应为正值,即只有在hW/2时上述结果才有效。在此条件下,弹簧自由长度h越大、弹簧刚度越大、人的体重
5、W越小，则可以走过的距离越大。由（)式之结果可知,弹簧的变形量dB始终是正值。这表明弹簧B实际受力和变形与图中假设一致，是受到压缩。且越大，dB越大。由(b）式之结果还可知，当xa时,弹簧的变形量dA为正，说明图中假设其受拉伸长是正确的;当时，dA为负，表示FA的实际指向与图中相反,弹簧亦受压缩短;当x=时,dA=,弹簧A既不伸长又不缩短，此时A=，人的重量全部由弹簧B承担。注意当x=时，由(a）式应有L(2hkW1)a。上述讨论涉及到问题和结果的物理意义、几何意义、各因素对结果的影响趋势和所求得结果的正确性条件等，读者应注意培养这种探究式思维。 由本例可见,平衡条件、变形几何协调条件、力与变
6、形之间的物理关系是分析变形体静力学问题的核心或研究主线。2基本假设 固体力学的研究对象是可变形固体。固体材料是多种多样的。研究变形体，常常需要涉及到材料本身.在力的作用下，不同的材料有着不同的变形性能。例如,在同样的拉伸载荷作用下,橡皮筋的变形大，铁丝的变形小等等。材料的物质结构和性质比较复杂,为了研究的方便，通常采用下述假设建立可变形固体的理想化模型。） 均匀连续性假设 假设物体在整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是密实、连续的，且任何部分都具有相同的性质。 有了这一假设，就可以从被研究物体中取出任一部分来进行研究，它具有与材料整体相同的性质。还因为假定了材料是密实、连续的,材料内部在变形前
7、和变形后都不存在任何“空隙”, 也不允许产生“重叠”,故在材料发生破坏之前,其变形必须满足几何协调(相容）条件。2) 各向同性假设 假设材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。 这样的材料称为各向同性材料。因为材料的晶粒尺寸很小且是随机排列的，故从宏观上看,从统计平均的意义上看，大多数工程材料都可以接受这一假设。这一假设使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化;即在物体中沿任意方位选取一部分材料研究时，其力与变形间的物理关系都是相同的。当然，有一些材料沿不同方向具有不可忽视的不同的力学性质，力与变形间的物理关系与材料取向有关;这样的材料,称为各向异性材料.3)小变形假设 假设物体受力后的变形是很小
8、的。 在工程实际中，构件受力后的变形一般很小，相对于其原有尺寸而言，变形后尺寸改变的影响往往可以忽略不计。假设物体受力后的变形很小，在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算就不至于引入大的误差.这样的问题，称为小变形问题。反之,当变形较大,其影响不可忽略时的问题，称为大变形问题。 基于上述假设,我们现在讨论的变形体静力学问题是均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题.这是固体力学研究的最基本问题。随着研究的深入，将逐步放松上述假设的限制。 如含缺陷、裂隙或夹杂等材料不连续的问题,大变形问题，各向异性问题等等,逐步深化对于工程构件或工程系统力学性态的认识。43内力、截面法物体内部某一部分与相邻部分间的
9、相互作用力，称为内力。与前面受力分析中提到的“物体系统中各物体间的作用力对于系统而言是内力”不同，系统中各物体间的内力，只须解除周围约束,将物体单独取出，即成为外力而显示。此后所说的内力，是物体内部各部分间的相互作用力。 为了显示内力，必须用截面法截开物体,才能显示出作用在该截面上的内力。图2（a)所示物体,受外力F1、F2、F3和力偶M作用而处于平衡状态。处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态.如果要研究物体内某一截面C上的内力，则可沿该截面将物体截开,任取一部分研究其平衡。ABF1F2F3MCCAF1F2CAF1F2FxFyFzMxMyMz(b)(c)(a)图4.2 用截面法显示
10、内力 沿C截面将物体截为、B二部分，任取一部分（这里取）作为研究对象,该部分上作用的外力是1、F2.物体处于平衡，则物体中的任一部分（无论是A还是B )都应处于平衡。在力F1、F2作用下，A部分能保持平衡是因为受到B部分的约束,故在截面C上有B部分对A部分的作用力(内力)作用，如图42（b）所示。无论C截面上的内力分布如何,其最一般情况是形成一个空间任意力系,故总可以像第三章讨论空间力系的简化那样，将截面上各处的内力合成的结果用作用于截面形心处沿三个坐标轴的力（F、F、Fz）和绕三个轴的力偶（x、M、M）表示,如图4.2（c）所示.研究所截取的A部分物体的平衡,C截面上内力的六个分量，可由空间
11、力系的六个独立平衡方程确定。利用小变形假设，可不考虑变形引起的几何尺寸变化。在最一般的情况下，切开的截面上内力有六个分量，可视为部分物体对A部分物体的约束力，它们限制了A部分物体在空间中相对于B物体的任何运动,包括沿三个坐标轴的移动和绕三个坐标轴的转动.如果物体有对称面且外力均作用在该平面内,则成为平面问题,如图4.3（a）所示。用截面法沿C截面切开后,取左边A部分为研究对象，则截面C上的内力只有作用在该平面形心处的三个分量，即、Q、，由平面力系的三个独立平衡方程确定。内力作用于截面法向,有使物体沿轴线伸长或缩短的效果，称为轴力；以拉力（指向离开截面)为正。内力Q作用于截面切向，有使物体沿截面
12、发生剪切错动的效果，称为剪力;截面在研究对象右端时，以指向向下为正.内力偶M有使物体在力的作用平面内发生弯曲的效果，称为弯矩；截面在研究对象右端时,以逆时针为正,物体的轴线发生弯曲后是向上凹的。图4。中的内力指向都是沿正向假设的,若求出的结果为负,则表示内力与假设指向相反。 如果作用在物体上的外力都在同一直线上，则如图43（b）,截面上的内力只有轴力FN。图4.3 截面上的内力（b）ABCACFNFQM（a）ABCAFN若取物体右端部分作为研究对象，截面C在研究对象的左端，其上内力与取部分研究时的截面内力互为作用力和反作用力，大小相等，指向相反。内力正负号的规定,列在表-1中。用二个相邻截面截
13、取一微段，微段二端面上均有内力。通常规定使微段受拉的轴力F为正；使微段发生顺时针剪切错动的剪力FQ为正；使微段弯曲变形后轴线向上凹的弯矩M为正。这样规定可保证研究者无论截取左端还是右端作为研究对象，所得到的内力都有相同大小和正负。表4- 截面内力的正向规定内力 右截面正向左截面正向微段变形（内力正向)轴力MAFNAFNBFQAFQBMBMMFNFNFQFQ 微段伸长剪力FQ 微段顺时针错动弯矩 微段弯曲向上凹 截面法是用假想截面将物体截开，揭示并确定截面上内力的方法。一般包括截取研究对象,绘出作用于其上的外力和截面内力（按正向假设），由平衡方程求解内力等步骤。 必须注意,因为所讨论的是变形体，在截取研究对象之前,力和力偶都不可以像讨论刚体时那样随意移动。例4.2 求图44所示杆中各截面的内力。解：在AB段任一截面截开，取左段研究，受力如图。4(a）所示，由平衡方程SFx=有: FN15 kN 对于BC段任一截面，受力如图。4（b），有:(a)(b)(c)(d)
