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1、2.3 恰当方程与积分因子方法(Exact differential equation and method of integrating factor )教学内容 1. 认识恰当方程，如何判定恰当方程; 2.介绍如何求解恰当方程; 3. 介绍什么叫积分因子; 4. 介绍如何寻找积分因子;5. 积分因子一些性质. 教学重难点 重点是会判定和求解恰当方程，难点是如何寻找方程的积分因子 教学方法 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 考核目标 1. 熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程; 2. 会求解恰当方程; 3. 知道积分因子的概念; 4. 会寻找积分因子，并求解方程. 1. 一阶微分形式的原函数存
2、在性及其求法的全微分为，我们称u(x, y)为一阶微分形式的一个原函数，并不是任一微分形式都有原函数的，例如。数学分析下册P228定理21.12给出了如何判定是否存在原函数充要条件，这里P(x, y), Q(x, y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数. 例33. 判定一阶微分形式是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y). 解：记 ， 易见P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域内具有一阶连续偏导数，且，(格林公式：=0即积分路径无关). 因此由定理21.12知，恰是某个函数u(x, y)的全微分. 求函数u(x, y)方法一、由知，. 再由知，即（常数）.
3、 特别地，取，得到一个原函数为 . 求原函数方法二、由定理21.12知，曲线积分与路径无关性且. 特别地，取折线段OA: y=0, ；，则. 将自变量(s, t)换为(x, y)得到，. 练习28. 判定一阶微分形式是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y). 2. 恰当方程(Exact equation)的概念及其解法（1）设一阶方程为，其中M(x,y), N(x, y)在单连通区域内具有一阶连续偏导数，改写为对称形式（*）. 如果恰好为某个函数u(x, y)的全微分，则称方程（*）为恰当方程.（2）恰当方程的解法：Step (a) 求出一阶微分形式一个原函数
4、u(x, y)，则；Step(b) 由一个二元函数两个偏导数都为零知，该二元函数为常函数. 于是，有, 这就是恰当方程的通积分. 例34. Use the method of exact equations to solve . Solution First, we rearrange the equation as . Let , 在的单连通区域内，（Test for exactness）, 因此为恰当方程. Assume that u(x, y) is a antiderivative(原函数) of , then . (a) Integrating the first equality,
5、 we get . (b) Differentiating the above equality, we get . (c) Integrating the above equality, we get , . So u(x, y)= and general integral（通积分） of equation is . 例35. 求解下列方程. Solution Let . First, we apply the test for exactness（恰当方程判定方法）:. So equation is exact equation. Assume u(x, y) is an antideri
6、vative of M d x+ N d y， then . (a) Integrating the first equality: u(x, y)=. (b) Differentiating the above equality: . (c) Integrating the , we get .So u(x, y) =, and general integral of equation is . 作业29. Determine which of the following equations is exact. Solve those that are exact. (a) ; (b) .
7、作业30. For each of the following equations, find the value of n for which the equation is exact. Then solve the equation for that value of n. (a) ; (b) . 3. 积分因子（Integrating Factor）如果一个方程是恰当方程，则它的求解过程是程序化的. 但并不是任一个方程都是恰当的，那么能否通过某种操作或等价变换使得它化为恰当方程呢？ 尝试如下：例36. 求解. 解：记，则验证. 即原方程不是恰当的. 但是在原方程两边乘以，则新方程为.
8、此时，有. 新方程是恰当方程. 记u(x, y)为一个原函数，则. (a) 对第一个等式两边积分得到：;(b) 对上式两边关于y求导得到：. (c) 对两边积分得到：. 于是. 因此，原方程的通积分为. 注解37. 这里有几个问题需要回答：（1）方程和乘以因子后所得新方程是否等解？如果不等解，那么问题出在哪？（2）如何寻找方程一个积分因子，使之成为恰当方程？关于问题（1）的回答是如果因子，则两方程等价；否则可能不等价.（上课听讲！）关于问题（2）的回答：研究如果两边乘以因子所得方程为恰当方程，则需要满足什么条件？ ，（*），这是一个偏微分方程，由此确定出难度不低于原常微分方程. 现作如下简化假
9、定：情形一：只是x的函数，于是方程（*）简化为，反过来检验是否只为变量x的方程，若是，求解，得到. 情形二：只是y的函数，于是方程（*）简化为，反过来检验是否只为变量y的方程，若是，求解，得到. 例38. (1) 寻找方程的积分因子. (2) 寻找方程的积分因子，并求解该方程. 解：记，则,于是，恰好为x 的函数，因此，所求积分因子为. 由例36知，原方程通积分为原方程的通积分为. 另一方面，注意到没有定义的点x=0，易验证，x=0也是方程的解. (上课听讲！) (2) 记,于是，恰好为y的函数，因此，所求积分因子为. . 记u(x, y)为方程左端一个原函数，则；，解得, 于是u(x, y)
10、=. 所求通积分为. 另一方面，注意到没有定义的点y=0，易验证，y=0也是方程的解. (上课听讲！) 作业31. Solve each of the following differential equations by finding integrating factor. （1） ；（2） ；（3） 教材P60 习题 2(1)、(9)4. 更多关于积分因子知识和方法（1）积分因子是二元函数情形：（a）， ； （b），.（2）设齐次方程，当时，有积分因子，并运用之来求解. 解：（a）回忆：若，则称为k次齐次函数. 若M(x,y)和N(x,y)都为k次齐次函数，则称方程为齐次方程. 假定M(x, y)满足连续可微条件对关于t求导得到，令t=1得到恒等式，类似地，. （b）考察，经计算得到. 因此新方程为恰当方程. （c）考察方程，改写为. 取，则新方程为. 分组为，即，. 所求的通积分为. 另一方面没有定义的只有(0, 0)点，因此原方程没有其他的解. （3）思考教材P61 习题10，并求解.(参见教材P38例7)解：方程为恰当方程，因此由习题10结论知，为方程的通积分. （4）思考教材P61习题9，自行阅读丁同仁、李承治常微分方程教程P47定理6和P48例题2，完成教材P61 习题2(11) .
