《高中数学2009年高考压轴题猜想专题训练(A).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学2009年高考压轴题猜想专题训练(A).docx（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学 2009 年高考压轴题猜想专题训练（ A）1（12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M 1,2 ，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点 .（）求这三条曲线的方程； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（）已知动直线 l 过点 P 3,0 ，交抛物线于 A, B 两点，是否存在垂直于 x轴的直线 l 被以 AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 .解：（）设抛物线方程为2 2 0y px p ，将 M 1,2 代入方程得 p 22 4抛物线方程为 : y x （ 1 分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为
2、F 1,0 ,F 1,0 , c=1 （ 2 分）21对于椭圆，2 2 22a MF MF 1 1 2 1 1 4 2 2 21 2a 1 22a21 2 3 2 22 2 2b a c2 2 2 （ 4 分）椭圆方程为：2 2x y3 2 2 2 2 21对于双曲线，2a MF MF 2 2 21 2a 2 12a 3 2 22 2 2b c a2 2 2 （ 6 分）双曲线方程为：2 2x y3 2 2 2 2 21（）设 AP的中点为 C ， l 的方程为： x a ，以 AP为直径的圆交 l 于 D, E 两点， DE 中点为Hx 3 y令 A x y C 1 1 （ 7 分）, ,
3、, 1 12 21 12 2DC AP x 3 y1 12 2x 3 11CH a x 2a 312 21 12 2 2 2 2DH DC CH x 3 y x 2a 31 1 14 42a - 2 x a 3a122当a 2时, DH 4 6 2为定值 ; （ 12 分）DE 2 DH 2 2为定值此时l 的方程为： x 22（14 分）已知正项数列a 中，na1 6，点 An an , an 1 在抛物线2 1y x 上；数列b 中，n点 B n,b 在过点 0,1 ，以方向向量为 1,2 的直线上 .n n（）求数列 a , b 的通项公式；n n（）若f nanbn, n为奇数, n为
4、偶数，问是否存在 k N ，使 f k 27 4 f k 成立，若存在，求出 k 值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数 n ，不等式n 1 na a1 1 11 1 1b b b1 2 nn 2 an0成立，求正数 a 的取值范围.解：（）将点 An an , an 1 代入2 1y x 中得a a 1 a a d 1n 1 n n 1 na a n 1 1 n 5n 1 （ 4 分）直线l : y 2x 1, b 2n 1n（）f nn 5, n为奇数2n 1, n为偶数 （ 5 分）当 为偶数时， 27为奇数， 27 4k k f k f kk 27 5 4 2k 1 , k 4当k为
5、奇数时， k 27为偶数， （ 8 分）2 k 27 1 4 k 5 , k352舍去综上，存在唯一的 k 4符合条件。（）由n 1 na a 1 1 11 1 1b b b1 2 nn 2 an0即a1 1 1 11 1 12n 3 b b b1 2 n记f n1 1 1 11 1 12n 3 b b b1 2 nf n 1 1 1 1 11 1 1 1 1 b b b b2n 51 2 n n 1f n 1 2n 3 1 2n 3 2n 4 2n 4 1f n 2n 5 b 2n 5 2n 3 2n 5 2n 3n 124n 16n 1624n 16n 151f n f n f n1 ,
6、即 递增，f n fmin1 4 4 51 ,5 3 150 a4 515 （ 14 分）2 23.（本小题满分 12 分）将圆O: x y 4 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变 ),得到曲线 C.(1) 求 C 的方程 ;(2) 设 O 为坐标原点 , 过点 F( 3, 0) 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点 , N 为线段AB 的中点 ,延长线段ON 交 C 于点 E.求证: OE 2ON 的充要条件是 |AB | 3.x y解: (1) 设点 P(x , y ) , 点 M 的坐标为 (x, y) ,由题意可知x,2y, (2 分)2 2又 x y 4,2x2 2 2 x
7、 4y 4 y 1.42x 2所以 , 点 M 的轨迹C 的方程为 y 1 . (4 分)4(2)设点 A(x1, y1) , B(x 2 , y2 ) , 点 N 的坐标为 (x0 , y0 ) ,当直线 l 与 x 轴重合时, 线段AB 的中点 N 就是原点 O,不合题意 ,舍去 ; (5 分)设直线l: x my 3,由xx2my4y234消去 x,2 2得 (m 4)y 2 3my 1 0 3m ,y0 (6 分)2m 4x2 23m 3m 4 3 4 3my 30 ,02 2 2m 4 m 4 m 44 3 3m点 N 的坐标为 )( ,2 . (8 分)2m 4 m 48 3 2
8、3m若 OE 2ON , 坐标为, 则点 E 的为)( ,2 , 由点 E 在曲线C 上,2m 4 m 4248 12m4 2得 2 1, 即 m 4m 32 0,2 2 2(m 4) (m 4)2 2 m 8 (m 4舍去 ).2 2 2 12m 4m 16 4 m 1由方程得 |y y | 1,1 22 2m 4 m 4又 |x x | |my my | | m(y y ) |,1 2 1 2 1 22 . (10 分) |AB | m 1| y y | 31 224(m 1)若 | AB | 3, 由得 3,2m 42 m 8.3 6 2点 N 的坐标为 )( , , 射线ON 方程为:
9、 y x (x 0) ,3 6 2由yx22224yx(x40)解得xy233632 3 6点 E 的坐标为( , ),3 3 OE 2ON.综上 , OE 2ON 的充要条件是 | AB | 3. (12 分)4.（本小题满分 14 分）已知函数f (x)41x (x R) .21 1(1) 试证函数 f (x) 的图象关于点 ( , ) 对称 ;2 4 n(2) 若数列 an 的通项公式为an ) (m N , n 1, 2, ,m ), 求数列 an 的前 m 项f (m和 S ;m(3) 设数列 bn 满足 :12b1 , bn b bn . 设1 n31 1 1Tn .b 1 b 1
10、 b 11 2 n若(2) 中的 Sn 满足对任意不小于 2 的正整数 n, Sn Tn 恒成立 , 试求 m 的最大值.1 1解: (1) 设点 P (x , y )0 是函数 f (x) 的图象上任意一点 , 其关于点 ( , ) 的对称点为P( x, y) .0 02 4xy22x0y01214得xy112x0y,0由.1所以 , 点 P 的坐标为P y ) (1 x 0 , 0 . (2 分)2由点 P (x , y )0 在函数 f (x) 的图象上 , 得0 0y10 .x4 02x x1 4 40 0 f (1 x ) ,01 0 x xx4 2 4 2 4 2(4 2)0 01
11、2yx1 1 400 ,x x2 4 2 2(4 2)001点 P (1 x 0 , y0 ) 在函数 f (x) 的图象上 .21 1函数 f (x) 的图象关于点 ) ( , 对称 . (4 分)2 4(2)由(1)可知 ,1 k k 1f (x) f (1 x) , 所以 f ( ) f (1 ) (1 k m 1) ,2 m m 2k m k 1 1即 ,f ( ) f ( ) , ak am k (6 分 )m m 2 2由Sm a a a a a , 1 2 3 m 1 m得 S a a a a a ,m m 1 m 2 m 3 1 m1 m 1 1 m 1由 , 得 ,2Sm (m 1) 2am 2 2 2 6 2 61 (3m 1).Sm (8 分)1212(3) b1 , b b bn bn (bn 1)n , 1 n3对任意的 n N , b 0n . 1 1 1 1由、 , 得 ,b b (b 1) b b 1n
