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1、圆度、直线度、平面度误差测量及数据处理1 圆度误差测量及数据处理11.1 圆度误差概述11.2 平面圆公差带和圆度误差的定义11.3 圆度误差的评定方法21.4 最小二乘法评定圆度误差4基本原理4数学模型4算法设计52 直线度误差测量及数据处理62.1 直线度误差概述62.2 给定平面直线度72.3 最小二乘法评定给定平面的直线度误差92.4 最小包容区域法评定给定平面的直线度误差112.5 任意方向的直线度132.6 最小二乘法评定的任意方向的直线度误差143 平面度误差测量及数据处理183.1 平面度误差概述183.2 平面度公差带和平面度误差的定义183.2 平面度误差的评定方法193.
2、3 最小二乘法评定平面度误差201 圆度误差测量及数据处理1.1 圆度误差概述机械零件回转表面正截面轮廓的圆度误差对机器和仪器的功能有直接的影响，因此在设计机器和仪器时根据零件的功能要求须给定适宜的公差。而完工零件的圆度误差是否在控制的公差之内，则要通过测量加以判定。对回转体零件的典型截面进行圆度误差测量是检验该类零件加工质量的重要指标之一。1.2 平面圆公差带和圆度误差的定义根据相关标准，圆的公差带是在同一正截面上，半径为公差值t的两同心圆之间的区域。被测柱面、锥面、环面等回转体任一正截面圆周必须位于半径差为公差值t的两同心圆之间2。如图1所示。圆度误差是指回转体在同一正截面上实际被测轮廓相
3、对其理想圆的变动量。误差值等于包容所有被测点的两同心圆半径之差，差值应符合最小条件。图1 圆的公差带1.3 圆度误差的评定方法在GB723487圆度测量术语、定义及参数中，圆度误差的评定方法有：最小外接圆法(RGC)、最大内切圆法(PGC)、最小二乘圆法(LSC)和最小区域圆法(MZC)。最小外接圆法主要用来评定外表面的圆度误差，它是与实际轮廓相接触的最小外接圆作为圆度误差的评定标准，圆度误差值实际上是各点至最小外接圆中心的最大半径与最小半径之差。这种评定方法一般适用于轴类零件，相当于用一只精密环规去密配，如图2a所示，以最小外接圆中心作为包容圆的中心，也就是以偏离外接圆的最大偏差来表示圆度误
4、差。最大内切圆法是以与实际轮廓相接触的最大内切圆作为圆度误差的评定基准，圆度误差值为实际轮廓上各点至最大内切圆心的最大半径与最小半径之差。这种评定方法一般适用于孔类零件，相当于用一只塞规去密配。如图3.2b所示，以最大内切圆中心作为包容圆的中心，也就是以偏离内切圆的最大偏差来表示圆度误差。以上最小外接圆法和最大内切圆法的优点是比较符合装配后的实际状况，能够最逼近地描述配合件中的定位性质，但所评定的圆度误差值较另两种方法偏大，而且评定结果随记录图形的大小和放大倍数不同而有所改变，即数值可能并不唯一。最小二乘圆法的中心位置和半径是应用最小二乘法原理，实际轮廓上各被测点到该圆径向距离的平方和为最小这
5、个最佳条件来确定的，以该最小二乘圆圆心作为评定基准，画出包容轮廓曲线的两个同心圆，以其半径差为圆度误差。如图2c所示(图中R为最小二乘圆半径)。从误差理论的角度看，以最小二乘圆作为评定基准是最合理和最可信赖的。这种方法突出的优点是：圆度误差的数值和中心都是唯一的，不会发生争议；评 图2 圆度误差的评定方法定结果不易受个别大误差的影响，能反映整个实际轮廓的综合情况，更符合对零件的功能要求；而且和表面粗糙度确定评定基准(中线)的原则相一致。因此，最小二乘圆法一直被推荐作为优先使用的评定方法。最小区域圆法是指用两同心圆包容基于仪器坐标的实际测量曲线，且两同心圆与测量曲线应至少有内外交替的4点接触，满
6、足此条件的两同心圆半径差为最小，两圆的圆心为满足最小区域条件的零件坐标系原点，如图2d所示。两圆的半径差为被测工件的圆度误差。最小区域圆法是符合上述圆度定义的评定方法。求出包容记录图形且半径差为最小的两个同心圆及其中心的坐标，以此中心作为包容圆的中心。最小区域圆法是不仅可以获得较小的误差评定结果，而且对零件的性质有稳定的约束(通过包边界)。上述四种评定方法各有优缺点，一般都可选用。在计算机中实现圆度评定的实质归根结底为：根据采样数据以不同的标准寻找符合条件的理想圆圆心。其中MZC法和LSC法是优先选用的评定基准。当用计算机进行数据处理时，LSC法的计算程序较MZC法简单得多。我们选用最小二乘法
7、作为本软件的评定算法。1.4 最小二乘法评定圆度误差基本原理最小二乘圆法是评定圆度误差较为重要的方法之一，同时也是比较易于理解、掌握和实现的方法之一。最小二乘圆是实际轮廓上各个点到该圆距离的平方和为最小的圆。以被测实际轮廓的最小二乘圆作为理想圆，其最小二乘圆圆心至轮廓的最大距离与最小距离之差即为圆度误差，如图3所示。 图3 最小二乘法评定圆度误差数学模型数学模型1）如图3.3所示，由最小二乘法的定义可知 （1）式中，最小二乘圆半径 实际被测轮廓上各点到最小二乘圆心的距离2）使用三坐标测量机测量圆度误差时，最好是在被测圆周等间距地采n点:, ,，采点时，若在XY平面测量，则必须锁紧Z轴，若在YZ
8、平面测量，则锁紧X轴，而在ZX平面测量时，需锁紧Y轴。圆度误差根据实际被测轮廓线,以测量中心为测量实际轮廓时所采用坐标系的原点,令最小二乘圆的圆心直角坐标为，按直角坐标测得的实际轮廓上各测点坐标为 ,则最小二乘圆的圆心坐标的计算公式为: （2） （3）实际被测轮廓上的测点到最小二乘圆圆心的距离: （4）将各测量点的坐标值代入上式计算出，并比 较的值，找出和，根据圆度误差评定的最小区域要求， 只有使值尽可能小，的值尽可能大时，此时圆度误差为最小。 （5）式中，实际轮廓等分角间隔数，越大 ,计算结果越精确测点序号圆度误差,实际被测轮廓上各点到最小二乘圆心的距离中的最大值和最小值算法设计1）由公式（
9、2）和（3）求出最小二乘圆心和半径R；2）由公式（4）求得各点到最小二乘圆圆心的距离；3）比较并找出到圆心距离的最大点和最小点；4）求得圆度误差。其流程图如图4所示: 图4 最小二乘法评定圆度误差流程图2 直线度误差测量及数据处理2.1 直线度误差概述对于任何一个加工完的零件，其精确度、形状误差是否符合技术要求，需要经过准确地测量和利用测量数据进行误差评定才能知道。因而，准确地测量和评定零件的直线度，不但可作为零件验收合格的依据，还可以用来分析误差产生的原因，为提高零件加工精度和装配精度提供可靠的依据。直线度误差用于限制给定平面内或空间直线的形状误差，应用非常广泛，如加工零件的直线度、直线运动
10、部件的直线度。主要用于测量圆柱体和圆锥体的素线直线度误差、机床和其他机器的导轨面以及工件直线导向面的直线度误差等。直线度分为三类：空间直线度、给定平面上的直线度，给定方向上的直线度。前两者运用较多，因此本文主要研究空间直线度和给定平面直线度。2.2 给定平面直线度给定平面直线度公差带和直线度误差定义 给定平面内的公差带是距离为t的两平行线间的区域，被测表面的素线必须位于距离为共差值t的两平行线之间。如图5所示。 图5 平面直线度公差带给定平面内的直线度误差是指被测实际平面直线对其理想直线的变动量，误差值等于包容所有被测点的给定平面内的两平行线间的距离，此距离应符合最小条件。给定平面直线度误差的
11、评定方法直线度误差的评定方法较多, 常用的有两端点连线法、最小二乘法、最小包容区域法。1)两端点连线法两端点连线法的原理为: 以测得的误差曲线首尾二点的连线作为理想要素, 作平行于该连线的两平行直线将被测要素包容, 两平行直线间的纵坐标距离即为直线度误差，图6所示。它是以两端点连线作为评定基线的一种评定方法。作图步骤：a在直线图形上绘出首末两端点连线；b以该连线作为评定基线找出各点相对于它的最大、最小偏移量；c直线度误差： （6） 图6 两端点连线法2）最小二乘法最小二乘法是以各采样点偏差值的最小二乘直线为评定基线, 求得基线两侧的最远点到基线的纵坐标距离, 这两者的绝对值之和为被测件的直线度
12、误差，下节将详细介绍。 图7 最小二乘法、3）最小包容区域法在给定平面内, 二平行直线与实际线呈高低相间接触状态, 即高低高或低高低准则。此理想要素为符合最小包容区域的理想要素, 如图8所示。可以这样来理解, 在包容实际轮廓线的许多对两两平行的直线中, 纵向距离为最小的两平行直线间的距离作为直线度误差的评定值。这两条平行直线为评定直线度误差的基线, 称为包容线。最小区域法就是找出包容被测线的许多对两两平行的直线中距离最小的一对包容线 从而得出直线度的误差。 图8 最小包容区判别准则对于给定平面直线度误差的评定 ,两端点连线法作图直观 ,主要适用于给定平面内的直线度误差的评定 ,但由于采用两端点
13、连线法获得的理想直线并不能满足最小条件 ,故其评定误差大 ,在精密测量特别是仲裁检验中不能采用。最小包容区域法符合最小条件。但是很难用解析法直接求出 ,不易于计算机实现。最小二乘法是根据残余误差平方和为最小的原理建立理想直线 ,由于其理论成熟 ,算法简便,在包括直线度误差在内的形位误差评定中得到广泛的应用，而且采用计算机计算非常方便。因此，对给定平面直线度误差的评定采用最小二乘法和最小区域包容法。2.3 最小二乘法评定给定平面的直线度误差基本原理最小二乘法是以各采样点偏差值的最小二乘直线为评定基线。求得距评定基线两侧最远点至该基线的纵坐标距离的差及，然后求出平面内直线度误差值： =- （7）数学模型 图9 最小二乘法评定平面直线度误差数学模型1）根据各测点的坐标值，求出最小二乘直线系数m、b如图所示，设工作平面为XOY。理想拟合直线为： （8）其中m、b分别为直线的斜率和在轴上的截距。并由三坐标测量机精确地测得一组数据因为测量总是有误差的，所以和中都含有误差，但相对来说的误差远比的误差小。我们认为值是准确的，而所有的误差都只与联系着。那么每次测量值与按方程计算出来的y值之间偏差为： （9）根据最小二乘原理，所有偏差平方和为最小，即 （10）式中，、是已经测定的数据点，它们不是变量，要使方程达到最小，变动量只能是m和b，如果设法确定这两个参数，那么
