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1、专题二压轴解答题第三关以函数零点为背景的解答题【名师综述】以函数零点为背景的解答题主要考察函数与方程思想，不仅要研究单调性，确定至多一解，而且 要考虑零点存在定理，确定至少有一解，从两方面确保解的个数的充要性类型一零点个数问题x典例1 已知函数f (x-ax+1ex(1)当a=1时，求y = f (x )在xw 11,1上的值域;(2)试求f (x )的零点个数，并证明你的结论 .【答案】(1) 12e,1(2)当a W0时，f(x)只有一个零点；当a0时，f(x )有两个零点.【解析】T-1 - x当口=1 时f(x = - -ax+l 则/=-l=-(x) ee而=在1上恒成立,所以w(/
2、) = f(x)在上通或Qo,=r(o=-i0, f (x)递增；当 xW(0,1)时 f(x)0 ,所以h(x )在(-0,0)和(0,收)上都是单调递增的；x(I)若 a=0,则1当xw(-o,0)时，h(x) = e - a 0恒成立，则没有零点; x当 xw (0* )时,h(1)=e1 A0 ,又h(x)在(0,+资)上单调递增的，所以有唯(II )若 a 0恒成立，则没有零点;x1当 xw(0,也)时，h 一一 f=eaA0, ,af 1、 _L 1h . =e -2 e2I2 - a-2 0,则 xx 11当 x=(-o,0 )时，由 e ax(x= R),则 e -a x- -
3、 a0,(x0),xx-27,a -a41则 xax10,取 x0=0,则h(x0)M0,又h(a) = e+-a (1 +a - a = 1 0 ，1 a1 a1 a1= e2_(2+a )a (2+a )(2+a) a = a0时，f(x)有两个零点.【名师指点】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函 数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归 根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【举一反三】已知二次函数y = g(x)的导函数的图像与直线 y=2x平行，
4、且y = g(x)在x=-1处取得极y= f(x)-kx存在零点，并求出零点.mx 二 一一小值m 1(m =0).设f (x) =9凶.k(k w R)如何取值时，函数 x【答案】当k=1时，函数y= f (x)kx有一零点t 111. 1-m(1-k)当 k 1 L( m 0),或 k 1 ( m0 ,1- 2 二：、4 - 4m(1 - k)右 m0, k 1 -,函数 y = f (x )-kx有两个零点 x =,即m2(1 -k)1 - . 1 -m(1 -k)1-2- ,4 -4m(1 - k)x =；若m0, k 0),或七1一工(m0,且b=1的任意实数b,证明函数y= f (
5、x)的图像经过唯一的定点；(3)如果关于x的方程f (x) = 2有且只有一个解，求实数 b的取值范围.1 .1【答案】(1) b= , f(x)的最小值为2 (2)见解析(3) b1,或b=一 ee【解析】(1)由/(1)=/(1)得：e+b- + -,解得 b = 0 ,且b#1恒成立.令 b=2得：yo =ex0+2x；令 b=3得：y0=e+3x0,.2x0 =2x,1 =1,解得唯一解 x0 =0V), y。=2经检验当x =0时，f (0) = 2，函数y = f (x)的图像经过唯一一定点0,2 .(3)令g(x)=f (x)2=ex+bx2为R上连续函数，且g(0) = 0,则
6、方程g(x)=0存在一个解1*b4, g (x )为增函数，此时 g(x) = 0只有一解.x x2 当 0 cb 0 ,0b1, lnb0,令 h(x)= 1 + ；b Inb , h(x)为增函数.elJ所以当 x e (-0, x0 )时，h(x)0,所以 g(x)0 ,所以g(x )a0 , g(x )为增函数.所以g极小(x )=g (x0 ),又g(x)定义域为R,所以gmin (x)= g(x0 ).若 M 0,g(x)在(Q,% )上为减函数，g(x0 )0.所以xw(x0,ln2时，g(x )至少存在另外一个零点，矛盾！若 0 ,所以g(x )在(logb2,x )存在另外一
7、个解，矛盾！1 V 1当 =log ey-lnb )=0,则 Tnb=1 ,解得 b =一 ,此时万程为 g(x )=e +-2 = 0, bee由(1)得，只有唯一解 x0 = 0 ,满足条件1-综上，当b1,或b=一时，方程f (x)=2有且只有一个解.e【名师指点】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解a#e,bw R),曲线1 2【举一反二】设函数f(x)=-x -(a +b)x + abln x (其中e为自然对数的底数,2
8、1 2y = f(x)在点(e, f (e)处的切线万程为y = e .2(1)求 b;1(2)若对任意xw-,+s) , f(x)有且只有两个零点，求 a的取值范围 e,一匕巾，1 -2e2【答案】(1) b=e； (2)实数a的取值范围为 s 12 .12e(1+e )(1)= x-( +h) + = -,x xr(x) = (x-a)(x-e),1 9(2)由(1)得 f(x)= x (a+e)x + aeln x , 2.1.11当a W -时，由f (x)0得xe,由f (x)0得一 xe,此时f (x)在(一，e)上单倜递减，在(e,+0) eee1 o1o上单倜递增，f(e)=
9、e (a+e)e+aeln e =一-e 0, 22_214212122f(e ) e -(a e)e 2ae e(e -2)(e -2a) e(e -2)(e -) 02 22e1(或当xt + 8时，f (x) A0亦可)，要使得f (x)在L,+8)上有且只有两个零点，e则只需11f(e)=27aeln122(1 -2e ) -2e(1 e )a2e21 -2e222e(1+e2)一. 1.1当一 a 0得一 xa或xe；由f(x)c0得axe.此时f (x)在(a, e)上单倜 ee11 o1 o1 o递减，在(一，2)和(0+笛)上单,倜递增， 此时 f (a) = a ae+aelna a ae+aeln e =- a e 时，由 f (x) 0得c xa ,由 f (x) 0得 e x
