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1、课时跟踪练(四十二)A组基础巩固1用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1，nN*)”，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析：当n1时，把n1代入左端，计算得1aa111aa2.故正确答案为C.答案：C2一个关于自然数n的命题，如果验证当n1时命题成立，并在假设当nk(k1且kN*)时命题成立的基础上，证明了当nk2时命题成立，那么综合上述，对于()A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立D以上都不对解析：本题证的是对n1，3，5，7，命题成立，即命题对一切正奇数成立答案：B3在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，
2、a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.解析：由a1，Snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.答案：C4对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式k1成立，当nk1时，(k1)1.所以当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：当nk1时，没有应用当nk时的假设，不是数学归纳法答案：D5(2019岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10解析：左边求和可得12
3、，右边2，故22，即26，解得n7.所以初始值至少应取8.答案：B6用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_解析：当nk时左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)27数列an中，已知a12，an1(nN*)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an_解析：a12，a2，a3，a4.由此猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列，所以an.答案：8凸n多边形有f(n)条对角线则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)与f
4、(n)的递推关系式为_解析：f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案：f(n1)f(n)n19用数学归纳法证明：12(nN*，n2)证明：(1)当n2时，12，命题成立(2)假设当nk时命题成立，即12.当nk1时，12222，命题成立由(1)(2)知，原不等式在nN*，n2时均成立10已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上(1)解：由题意得a11，b11，b2，a21，所以P2.所以直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，
5、2a1b121(1)1成立假设当nk(k1且kN*)时，2akbk1成立当nk1时，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，所以当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上B组素养提升11平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()An1 B2nC. Dn2n1解析：1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域答案：C12已知f(n)(2n7)3n9，存在正整数m，使得对任意nN*，f(n)都
6、能被m整除，则m的最大值为()A18 B36 C48 D54解析：由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当n1时，可知猜想成立假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，f(k1)(2k9)3k19(2k7)3k936(k5)3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.故选B.答案：B13设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f
7、(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)(n3)答案：5(n1)(n2)(n3)14(2019广州模拟)已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nN*，证明：an.(1)解：由题意，知f(x)axx2.又f(x)max，所以f(x)maxf.所以a21.又当x时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明：用数学归纳法证明如下：当n1时，0a1，显然结论成立因为当x时，0f(x)，所以0a2f(a1).故当n2时，原不等式也成立假设当nk(k2，kN*)时，不等式0ak成立由(1)知a1，f(x)xx2，因为f(x)xx2的对称轴为直线x，所以当x时，f(x)为增函数所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立由知，对任意nN*，不等式an成立1
