天体运动的各种物理模型

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1、天体运动的各种物理模型（08年、5月）一、追赶相逢类型1- 1、科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔 时间t与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R,周期是T,设地球和小行星都是圆 轨道，求小行星与地球的最近距离。解：设小行星绕太阳周期为T/，T/T，地球和小行星每隔时间t相遇一次，则有设小行星绕太阳轨道半径为R/,万有引力提供向心力有G=m /R /R/2T/2同理对于地 球 绕 太 阳 运 动 也Mm4兀2RG-=mR2T 2Mm /4兀 2R/3 _ T/2R 3T 2R / 二（占）2/3 R由上面两式有所以当地球和小行星最近时d 二R / - R

2、二（占）2/3 R - R1- 2、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径厂火=1.5XI。11 m，地球的轨道半径r = 1.0 x 1011 m，从如图所示的火星与地球相距最 地近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球 年？（保留两位有效数字）解：设行星质量m,太阳质量为M,行星与太阳的距离为r，根据万有引力定律,mM行星受太阳的万有引力F二G（2分）r2行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有F二ma = mo 2r（2分）2兀mM4兀24兀2八-d分）以上式子联立=怜厂故T2 = GMr3 （1分）TrI t地球的周

3、期T = 1 年,（1分）（，火）2 =（火）3火星的周期T =X-火）3 T（2分）地Tr火 V t地地地地（15）3 X1 年i8 年（1 分）设经时间t两星又一次距离最近，根据0 =t（2分）则两星转过的角度之差6-6= （-）t = 2兀（2分）地 火 T T地火1TT 1.8 x 1仕仕t = 火地=年=2.3年11 T - T 1.8 -1火 地TT地火2 分，答“2.2 年”同样给分）二、宇宙飞船类型（神舟五号类型）2- 1、随着我国“神舟五号”宇宙飞船的发射和回收成功。 标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为 m的飞船绕地球在圆轨道I上运行时，半径为，要进入半

4、径为 / r2的更高的圆轨道II,必须先加速进入一个椭圆轨道III,然后再/ 进入圆轨道II。已知飞船在圆轨道II上运动速度大小为U ,在A ； 点通过发动机向后以速度大小为u （对地）喷出一定质量气体， 使飞船速度增加到V进入椭圆轨道III。（已知量为：m、气、r2、BIu、V u）求:飞船在轨道I上的速度和加速度大小。发动机喷出气体的质量mo解：（1）在轨道I上，有GMmr21v 2=-r1（2分）解得：v1.GM（1 分）r1GM 同理在轨道II上v二rf 2（1 分）ir由此得：v二v 2（1分）1 V r 1在轨道I上向心加速度为ai5则有MmGr21=ma1（2分）v2同理在轨道I

5、I上向心加速度a=,则有r2Mm v 2G = m r 2 r22（2分）r由此得a =亠v2（1分）1 r 21mV】=（m 一 Am）v 一 Amu（3分）得：Am =（2分）（2）设喷出气体的质量为Am,由动量守恒得2- 2、2003年10月 15日9时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨道上的匀速圆周运动，已知地球半径为R,地球表面重力加速度为go设“神舟”五号载人飞船绕地球运行的周期为T、地球表面的重力加速度为g、地球半 径为R,用T、g、R能求出哪些与“神舟”五号载人飞船有关的物

6、理量？分别写出计算这些 物理量的表达式（不必代入数据计算）小 Mm/2兀、G = = mr （）2解：对飞船，万有引力作为圆周运动的向心力r 2（2分）在地球表面MmR 2=mg2 分）r = iR 2 gT2:可得“神舟”五号轨道半径 I 4兀2 （或轨道周长1 = :加R 2 gT 2此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率f=T2兀3 =“神舟”五号载人飞船的运行角速度 T 1% R 2 g“神舟”五号载人飞船的运行线速度丫 T 2 兀 |2nR 2 ga =31“神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度）T h = 3_ R“神舟”五号载人飞船的离地面高度 4兀2

7、2-3、2003年 10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业发 展到了很高的水平。飞船在绕地球飞行的第5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高 度为h的圆形轨道。已知地球半径为R,地面处的重力加速度为g.求：（1）飞船在上述圆轨道上运行的速度v；（2）飞船在上述圆轨道上运行的周期T.解：（1）设地球质量为M,飞船质量为m,圆轨道的半径为rMm u 2由万有引力定律和牛顿第二定律G= m（3分）r 2 rMm在地面附近有G = mgR2（3分） 由已知条件r = R + h （2分）求出 u-gR2R + h2 分)(2)由T =丝(3分)u(R + h)3gRT3

8、分)2-4、国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于 2003 年 10 月 15 日在中国酒泉卫星发射中心发射升空.飞船由长征-2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变 轨后，再进入预定圆轨道，如图所示.已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t近 地点A距地面高度为h，地球表面重力加速度为g,地球半径为R,求：(1) 飞船在近地点A的加速度a为多大？A(2) 远地点B距地面的高度h为多少？解答：(1)设地球质量为M,飞船的质量为m在A点受到的地球引力为2分g _ gM地球表面的重力加速度R2 2分由牛顿第二定律得F _ GM _ gR 2 m (R + h A (R

9、+ h A114分T _ -2)飞船在预定圆轨道飞行的周期 n 2分由牛顿运动定律得Mm(R + h A2/ 2兀2(R + h )22分解得4分三、同步卫星3- 1、射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为的圆形近地轨道上， 在卫星经过A点时点火(喷气发动机工作)实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A, 远地点为B。在卫星沿椭圆轨道(远地点B在同步轨道上), 如图 14 所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速， 并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T,地球 的半径为R,地球表面重力加速度为g,求：(1) 卫星在近地圆形轨道运行接近 A 点时的加速度大 小；(2) 卫星同

10、步轨道距地面的高度。解：(1)设地球质量为M,卫星质量为m万有引力常量为G、卫星在近地圆轨道运动Mm接近A点时的加速度为a，根据牛顿第二定律G= ma 4分x(R + h ) 2A1Mm物体在地球表面上受到的万有引力等于重力G R2二mg 4分解得aAR 2(R + h )21m4兀2(2)设同步轨道距地面高度h ,根据牛顿第二定律有G一= mL(R + h ) 6分 2(R + h )2T221igR 2T 2 厂由上式解得：h 3 R 2分本报讯国家夭文台台长、中科院院士 艾国祥22日说，首个由中国人硏的目前 世界上口径最大的空间太阳望远績将于 2008年升空。这标志着中国科学家将全面 参

11、与全球科学领域最尖端的太阳探测活动二据悉，这座口径为I米的热光学望远 镜将安装在一颗天文探测卫星上，被运载 火箭送入离地面735公里的地球同步轨 道。它将用于全面观测衣阳磁场、太阳大气 的精细结构、太阳耀斑能量的积累和释放 以及日地空间环境等2*4兀 23- 2、右图为某报纸的一篇科技报道,你能发现 其中的科学性问题吗？请通过必要的计算加以说 明。下面的数据在你需要时可选用。引力常量G=6.7X 10-iiNm2/kg2；地球表面重 力加速度g=10m/s2；地球半径R= 6.4X 106m；地球 自转周期T=8. 6X104S；地球公转周期T =3.2X 107s。(心=10； 7080的立

12、方根约取4.2)解：本报道中,地球同步卫星高度735公里的数据出错,以下的计算可以说明。在地球同步轨道上,卫星受地球的万有引力提供卫星绕地球运转所需的向心力。设卫星m2兀的质量为m，离地面咼度为h,有：G= m( )2(R + h)(R + h)2TMm在地球表面上，质量为m的物体，受地球的万有引力等于物体的重力，有：G0二mg0R 2|R 2 gT 2得G=R2g由(2)式可得R=3占-h代入数据得R二3.6X 107m二3.6x 104km (能说明差2个数量级即可)四、科技前沿信息型4- 1、1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Plank学会的一个研 究组宣布了他

13、们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，“黑洞”是某些天体的 最后演变结果。(1) 根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.0X1012m的另一个星体(设其质量为m2)以 2X10sm/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m10 (结果要求两位有效数字)（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v，其中引力R常量G=6.67X10-11 Nm2 kg-2, M为天体质量，R为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空 中光速的天体叫“黑洞”。请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。（结果只要求一位有效 数字）解：（1）Gm mv 212 = m（3 分）r 22 rm = 3.

14、6x 1035kg1 G（4分）2）2GmR1 C （3 分）. R 2GmC2.R = 2Gmi = 5 x 108 m （4 分）mC 24- 2、设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必 须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功RW = mgR（1），返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速r度为g ,火星的半径为R,轨道舱到火星中心的距离为r不计火星 表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返 回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？Mm解：返回舱与人在火星表面附近有：GR2 = mg（2分）Mmv 2设轨道舱的质量为m ,速度大小为v,贝I：G = m（2分）0r 20 r1mgR 2解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为E =三mv2 =（2分）k 2