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1、函数的单调性与导数（获奖教案3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1） 第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容 属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计 算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可 加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值 和最值打好基础.由于学生在高一已经掌握了单调性的定 义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判 断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三 次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的 函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性. 课时分配本节内容用1课时完成，主要经历从
2、生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念 的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了 数学知识来源于生活，又服务于生活.教学目标重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：1.探究函数的单调性与导数的关系;2.如何用导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单 调性的方法.2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观 察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引 导学生养成自主学习的学习习惯
3、.自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比 迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思 想方法.考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的 单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而 不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三角板课堂模式：学案导学一.引入新课师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=X2的单调性，如何进行？生：用定义法、图像法.师：因为二次函数的图像我们非常熟悉，可以画 出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有 需要注意的地方？生：注意定义域.师：如果遇到函数y=x3_3x,如何判断单调性呢？ 你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本
4、方法， 但定义法较 繁琐，又不能画出它的图像，那该如何解决呢？ 揭示并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学 过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出 新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知 冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增 与减、增减的快与慢以及函数的 最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对 数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调 性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的， 那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种 内在的联系呢？二.探究新知师：如图(1),它表
5、示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数h(t)79t2+6.5t+10的图像,图(2)表示 高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t)=h(t) = -9.8t+6.5 的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这 两段时间的运动状态有什么区别？生：通过观察图像，可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h随 时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应地，v(t) =h(t)0 .(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h随 时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地，v(t) =h(t)0；(2)函数y = x2的定义域为R，在(气+上单调递减，在(04)上单调递
6、增；而y/=2x,当x0时，其导数y,0时，其导数y/0；当x=0时，其导数y/=0.(3)函数y = x3的定义域为R,在定义域上为增函数; 而y/=3x2,若x=0,则其导数3x20,当x = 0时，其导 数 3x2 =0 ；(4)函数y=1的定义域为(*,0)d(0卡)，在(3,0)上单 x调递减,在(0,F上单调递减，而y/=,因为x0, x所以y, 9师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系 说明，在区间(a,b)内,如果。，那么函数y = f(x)在 这个区间内单调递增；如果 f/(x)0,切线是左下 右上”式的，这时，函数f(x)在X0附 近单调递增； 在X=X1处，f/(xi
7、)0,那么函数y=f(x)在这 个区间内单调递增；如果f/(x)0,那么函数y=f(x) 在这个区间内单调递减.说明：如果f/(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内 是常函数.【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论.让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函 数单调性与导数的关系.四.运用新知例1、已知导函数f(x)的下列信息：当 1x0；当 x4,或 x1 时，f(x)0；当 x=4, 或 x = 1 时，f(x)=0试画出函数y = f(x)图像的大致形状.解：当lx0,可知y=f(x)在此区间内单 调递增；当x4,或x1时，f(x)1时,
8、函数f(x)=x2-2x-3单调递增;当f(x)0)即x0,即 时，函数f (x) =x2 -2x -3；当f(x)0,即 时，函数-2 一 一f(x)=x -2x -3函数刈=2/+3/一24*+1的图像如图4所示.函数单调性的简便.【师生活动】总结求y=f(x)单调区间的步骤:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y =f (x)；(3)解不等式f(x)o,解集在定义域内的部分为 增区间；(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为 减区间.例3.已知函数y = x+1,试讨论出此 x数的单调区间.解：/1 /y = (x -)= 1-1(x-1)(x +1) 22xx(x
9、-1)(x 1)2x0.解得x 1或x -1y = x+1的单调增区间是：(*,-1)和(1,f) xCx_1)(x_1) 0角军彳导-1 x 0或0 x 1xy = x+1的单调减区间是：(-1,0)和(0,1). x练习：P931题五.课堂小结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数y=f(x)单调区间【设计意图】 知结构.六.布置作业通过师生共同反思，优化学生的认必做： 课本P98 A组1,2选做：1、求下列函数的单调区间: (4) y = xln x(1) y =2x3 -6x2 7(2) y=J 2x(3) y = sin x, x 0,2二 I2、已知f(x)=x3+bx2+c
10、x+d的图像过点P(0,2)且在x = 1处 的切线方程为6x_y+7=0,求(1) f(x)的解析式；(2) 求函数y = f(x)的单调区间.3、已知函数f (x) =ax3+3x2 x+1在R上是减函数,求a的取值范围.【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习，加强学生的应用意识.七.教后反思1 .本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从而到 更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推广 到一般.这个过程中既让学生获得了关于新知的内容）更可贵的是让学生体会到如何研究一个新 问题，即探究方法的体验与感知.同时也渗透了 归纳推理的数学思想方法,培养了学生的探索精 神，积累了探究经验.2 .不足之处：学生对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练.八、板书设计3.3.1、函数的单调性与导数.函数的单调 性与导数的关系二.利用导数求单调性的步 骤一.例题例1.例2.例3二.随堂练习四.课时小 结
