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1、专题 15 线段垂直平分线问题专題知识概述1. 线段的垂直平分线定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2. 线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.沖Rz作法：（1）分别以点A, B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C, D两点；说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了.（2）作直线 CD，CD 即为所求直线说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.3. 线段垂直平分线的性质：（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离
2、相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也 给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两 个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线 .线段的垂直平分线可以看作是与这条线 段两个端点的距离相等的所有点的集合4. 三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外 心.说明：（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为
3、三角形外接圆的圆心.（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与 斜边中点重合.（3）外心到三顶点的距离相等.5. 尺规作图线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”， 画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来. 最后要点题即“XXX即为所求” 6. 中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型类型一：线段的垂直平分线定理。类型二：线段的垂直平分线的逆定理。类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。类型四：尺规作图。例題解析与对点练习【例题
4、1】（2020枣庄）如图，在 ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6, AC=5,则厶ACE的周长为（）A8 B11 C16 D17【答案】B【解析】在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6, AC=5,贝ACE的周长为DE垂直平分AB,*.AE=BE,.ACE 的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.【对点练习】（2019湖南湘西州）如图，在 ABC中，ZC=90, AC=12, AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD,若cosZBDC耳，则BC的长是（）A. 10B. 8C. 41 3
5、D. 2.-;6【答案】D【解析】设CD=5x, BD=7x，则BC=2左x，由AC=12即可求x,进而求出BC；5*.,ZC=90, cosZBDC=,设 CD=5x, BD=7x,.：BC=2l 6x,TAB的垂直平分线EF交AC于点D,.AD=BD=7x,.AC=12x,.AC=12,.x=l,.BC=2l &【点拨】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值,线段垂直平分线的性质是解 题的关键【例题2】（2020南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线12相交于点0,若Zl = 39,则ZAOC=_.【答案】78【分析】过0作射线BP,根据线段的垂直平分线的性质得A0=
6、0B=0C和ZBD0=ZBE0=90。，根据四边形 的内角和为360得ZD0E+ZABC=180，根据外角的性质得ZA0P=ZA+ZAB0,ZC0P=ZC+Z0BC,相加 可得结论【解析】过0作射线BP,线段AB、BC的垂直平分线1、l相交于点0,12.A0=0B=0C,ZBD0=ZBE0=90,.ZD0E+ZABC=180,VZDOE+Z1 = 180,.ZABC=Z1 = 39, 0A=0B=0C,.ZA=ZAB0,Z0BC=ZC, ZA0P=ZA+ZAB0,ZC0P=ZC+Z0BC,.ZA0C=ZA0P+ZC0P=ZA+ZABC+ZC=2X39=78【对点练习】（2020毕节市模拟）等腰
7、 ABC的底角为72。，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为D,连接BE，则ZEBC的度数为.答案】36。【解析】首先根据等腰三角形的性质可得ZA的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,进而可 得ZABE=ZA=36，然后可计算出ZEBC的度数.等腰 ABC的底角为72,.ZA=180-72X2=36, AB的垂直平分线DE交AC于点E,.AE=BE，.ZABE=ZA=36,.ZEBC=ZABC -ZABE=36.【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及等腰三角形的性质,关键是掌握等边对等角【例题3】（2020连云港模拟）如图，已知AB=AC,ZABD=ZACD,求证
8、：AD是线段BC的垂直平分线.【答案】见解析【解析】证明： AB=AC （已知）.ZABC=ZACB （等边对等角）又 */ZABD=ZACD （已知）Z.ZABD-ZABC =ZACD-ZACB （等式性质）即 ZDBC=ZDCB.DB=DC （等角对等边）.AB=AC （已知）DB=DC （已证）点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） AD是线段BC的垂直平分线。【点拨】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为 到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是
9、线段BC的垂直平分线了” 但却忽略了“两点确定一条直线”所以只有当AB=AC, DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线.【对点练习】（2019广西百色）如图，菱形ABCD中，作BE丄AD、CF丄AB,分别交AD、AB的延长线于点E、F（1）求证：AE=BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB=2,求BD的值.【答案】见解析。【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形,*.AB=BC， ADBC ZA=ZCBF BE丄AD、CF丄AB.ZAEB=ZBFC=90.AEBABFC (AAS).AE=BF(2)VE是AD中点，且BE丄AD.直线 BE 为 AD 的垂直平分线,*.BD=AB=2
10、 【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质 是本题的关键【例题4】（2019广西北海）如图，在RtAABC中，ZC=90,ZB=30, AC=4,观察图中尺规作图的痕 迹，则AD的长是（）A. 4的B. 4C. 3D. 2【答案】B.【解析】根据线段垂直平分线的性质和含30的直角三角形的性质解答即可连接 CD，在 RtAABC 中，ZC=90,ZB=30, AC=4,.AB=8，.BD=CD, .ZB=ZBCD=30,.ZDCA=60,VZA=60,ACD是等边三角形，.CD=AD=BD=*AB=4【对点练习】电信部门要修建一座电视信号发射
11、塔P,按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须 相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.（尺规作图，不写作法, 保留作图痕迹）【答案】见解析。【解析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上.故两线交点即为 发射塔P的位置.设两条公路相交于0点.P为线段AB的垂直平分线与ZMON的平分线交点或是与ZQON的平分线交点即为发 射塔的位置.如图，满足条件的点有两个，即P、P.点拨】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题.专題点对点强化训拣一、选择题1. (2020湘西州)如图，PA、PB为圆0的切线，切点分别为
12、A、B, P0交AB于点C, P0的延长线交圆0于点D.下列结论不一定成立的是()A. ABPA为等腰三角形B. AB与PD相互垂直平分C. 点A、B都在以P0为直径的圆上D. BPA的边AB 上的中线【答案】B【解析】根据切线的性质即可求出答案.(A) PA、PB为圆0的切线,.PA=PB,BPA是等腰三角形，故A正确.(B) 由圆的对称性可知：AB丄PD，但不一定平分, 故 B 不一定正确.(C) 连接 OB、0A，PA、PB为圆0的切线,.Z0BP=Z0AP=90,.点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确.(D) MBPA是等腰三角形，PD丄AB, PCBPA的边AB 上的中线，故D
13、正确.2. 如图，AABC中ACBC，边AB的垂直平分线与AC交于点D,已知AC=5, BC=4,则厶BCD的周长是( )EA.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD,即AD+CD=BD+CD=AC，再根据厶BCD的周长=BC+BD+CD即 可进行解答.因为 BD=AD,所以 BCD 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【点拨】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线 上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长.3. (2019 广西梧州)如图，。已是厶
14、ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E,且AC=8, BC=5,则厶BEC的周长是（ ）A12B13C14D15【答案】B.8. 【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE=BE,进而得出答案. DE是AABC的边AB的垂直平分线，,*.AE=BE, AC=8, BC=5,.BEC 的周长是：BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.二、填空题4. （2020长春模拟）如图，在ABC中，ZB=30, ED垂直平分BC, ED=3.则CE长为【答案】6【解析】由ED垂直平分BC,即可得BE=CE,ZEDB=90。，又由直角三角形中30。角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解ED 垂直平分 BC,.BE=CE,ZEDB=90,VZB=30, ED=3,.BE=2DE=6,.CE=65. (2020莱芜模拟)如图，在ABC中，AB=BC,ZB=120, AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则 AD=cm.答案】2【解析】连接BD.VAB=BC,ZABC=120,AZA=
