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1、 数学史(考试重点及答案总结 数学史(考试重点及答案总结 1.简述数学史的定义及数学史课程的内容。 答：数学史讨论数学概念、数学方法和数学思想的起源与进展及其与社会政治经济和一般文化的联系。数学史课程的功能可以概括成以下四局部: （1）把握历史学问：通过学习关于数学的特地学问，更好的从整体上把握数学。（2）复习已有学问：按学科叙述学过的数学学问，系统的提高对该学科的理解。（3）了解新的学问：通过学习数学各学科的进展，了解没有学过的学科的内容。（4）受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。2.简述数学内涵的历史进展。 答：数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段
2、。A数学是量的科学：公元前4世纪。 B数学是讨论现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。C数学讨论各种量之间的关系与联系：20世纪50年月。D数学是作为模式的科学：20世纪80年月。1.简述河谷文明及其数学。 答：历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”，由于这些国家是在河流的入海口建立的。尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明；印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不达米亚的数学产生较早，纪元前已经衰微，而印度、中国的数学崛起较晚，却连续至中世纪。 2.简述纸草书与泥板文书中的数学。 答：古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸
3、存至今，被称为纸草书。莱茵德纸草书（现存于伦敦大英博物馆）中有84个数学题目；莫斯科纸草书（现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。 纸草书中的数学学问包括：（1）算术，包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2）几何，包括面积、体积计算和四棱台体积公式。 美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今，被称之为泥板文书。出土50万块其中数学文献300块。 泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括1.414213；(3)数表；(4)xpxq=0,x=a,X+X=a(5) 几何，测量、面积、体积
4、公式、相像形、勾股数值。代数学。1.简述几何三大问题及历史进展。 答：用圆规和没有刻度的直尺完成作图（称为尺规作图）；（1）画圆为方：作一个与给定圆面积相等的正方形； （2）倍立方体：求作一个正方体，使其体积等于已知正方体体积的两倍；（3）三等分角：分任意角为三等份角。 历史进展：从古代希腊开头，人们对三大问题做了不断的探究但没有解决；直到19世纪人们才能用代数学等的学问彻底解决了；彻底解决证明是不行能的，有的人不了解历史有时仍旧盲目的讨论它。2.简述欧几里得的几何原本。 答：欧几里德集古代希腊论证数学之大成，写成第一部典范的数学著作几何原本。 前六卷相当于几何内容。第1卷首先用23个定义给出
5、了点、钱、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公社和5个公理，第2卷主要争论几何代数，第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理，第4卷在引入了圆的内接和外切圆形的概念以后，争论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题，第5卷争论了有关量的比例理论，第6卷主要是将鼓励理论应用于平面几何，其中包括相像三角形等。第7、8、9卷主要讨论初等数论。第10卷争论无理数。后3卷是立体几何的内容. 1.简述割圆术及中国古代数学家所计算的圆周率。 答：（1）割圆术的要旨：就是用圆内接正多边形去靠近圆“割之弥细，所之弥少“。用圆内接正多边形的周长与面积近似作
6、为圆的周长与面积。 2）刘徽计算到正192边形，得到圆周率约为3.14，以分数157/50近似代替圆周率，称之为徽率。祖冲之计算的圆周率3.1415926答：牛顿是在笛卡尔的几何学和沃利斯的“无穷算数”的根底上创立微积分理论。1665年11月牛顿建立了“正流数术”；1666年5月牛顿创立了“反流数术”；1666年10月牛顿写了总结性论文流数简论。牛顿连续讨论流数术相继完成了三篇论文分析学、流数法、求积术，并且以极限法作为微积分的根底，牛顿在自然哲学的数学原理一书中最早公开表述微积分学说。 莱布尼兹从几何问题动身，发觉了求曲线的切线与面积的互逆关系。1684年他发表了一种求极大与微小值和求切线的
7、新方法，1686年他发表了浅显的几何与不行重量及无限的分析。1.简述微积分的进展。 答:大不列颠以泰勒、麦克劳斯、棣莫弗、斯特林继承和进展了牛顿创立的微积分；欧洲大陆以伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日为代表继承和进展了莱布尼茨创立的微积分。微积分的进展分为5个方面： （1）积分技术与椭圆积分：包括变量替换、局部分式积分，椭圆积分；（2）微积分向多元函数的推广：包括偏导数和多重积分；（3）无穷级数理论：包括收敛性、调和级数、判别法；（4）函数概念的深化； （5）微积分严格化的尝试：其中主要著作有达朗贝尔的科学、艺术和工艺百科全书，拉格朗日的解析函数论。代表学科：分析学和分析。2.简述分析学在
8、18世纪的新分支。答：分析学在18世纪有3个分支： （一）常微分方程：包括积分因子法，变易系数法。例如：微分方程，常微分方程。（二）偏微分方程（又称数学物理方程） 这一分支有两位闻名的数学家进展了讨论：其中达朗贝尔讨论弦的振动，得出所满意的微分方程，并求出某种形式的通解：拉普拉斯讨论弦的振动，得出所满意的偏微分方程（位势方程），通常称为拉普拉斯方程。（三）变分法：欧拉对于变分问题给出了一般的处理，得出了变分法的根本方程，常称为“欧拉方程”。1.简述伽罗瓦对代数学的奉献。 答：法国数学家伽罗瓦的工作原理是在拉格朗日、高斯、柯西、阿贝尔等人的工作启发之下完成的。他在拉格朗日的根底上提出了“置换群”
9、、“子群”、“正规子群”、“极大正规子群”等全新的数学概念。伽罗瓦讨论根的排列，实际上建立了置换群。1829-1831年，伽罗瓦发觉了代数方程可用根式解的根本定律伽罗瓦根本定律。推断根式可解的充要条件。问题转化为域，建立了子域与子群的对应关系，给出了根式可解得充要条件，开拓了代数学的新纪元。2.简述19世纪的数论。 答：高斯1801年著书算数讨论对代数数论进展了总结并发长了此数论。高斯讨论了同余理论、复整数型的理论，使数论成为现代数学的一个重要分支，复整数理论开拓了代数理论。库默尔对代数数论作出了重要奉献。例如：费马定理的证明，唯一因子分解定理和抱负数理论。1.简述非欧几何的产生。 答：讨论欧
10、几里德平行公社由来已久，19世纪进入讨论的活泼时期。克里格尔对平行公理能否有其他公理推出表示疑心。兰伯特通过替代平行公社而绽开无冲突的几何学著作平行线理论。高斯建立并信任一种规律上相容并且可以描述物质空间像欧氏几何一样正确的几何学。.波约（匈牙利）著肯定空间的几何学，给出了非欧几何。罗巴切夫斯基是俄国数学家，他1826年发表简要论述平行线定理的一个严格证明，1829年完成论几何原理；1835-1838年完成具有完备的平行线理论的新几何原理，1840年完成平行理论的几何讨论，他最早发表并保卫自己的理论，被成为罗巴切夫斯基几何，简称为罗氏几何。2.克莱茵的爱尔朗根纲领。 答：各国数学家克莱茵于18
11、72年在爱尔朗根大学发表的数学教授就职演说称之为“爱尔朗根纲领”。“爱尔朗根纲领”阐述里几何学统一的思想：所谓几何学，就是讨论几何图形对某类变换群保持不变性质的学科，或者说，任何一种几何学只是讨论与特定变换群有关的不变量，从而，变化群本的任意一种分类也就对应于几何学的一种分类。 1.简述柯西与魏尔斯特拉斯对分析学严格化的奉献。 答：柯西是十九世纪前半世纪的法国闻名数学家。他与1817年出版了纯粹分析证明一书，又于1821年和1823年分别出版了分析教程和无穷小计数教程。他特殊是对变量、函数、极限、无穷小量、连续函数、导数与微分、积分和级数的讨论做出了突出奉献。 威尔斯特拉斯制造了一套科学的语言
12、，重新定义了极限、连续、导数等分析根本概念，引进了全都收敛性，分析学今日的严格形式被确定。1.简述20世纪纯粹数学进展的主要趋势。 答：20世纪纯粹数学进展的主要趋势是更高的抽象性，更强的统一性，更深入的根底探讨。 更高的抽象性：集合论观点的渗透和公理化的应用，使20世纪纯粹数学具有更高的抽象性，以实变函数、泛函分析、拓扑学、抽样代数具有标志性的四大抽象分支为典型证明与代表。 更强的统计性：不同学科的相互渗透、结合的趋势、不同分支领域的数学思想与数学方法的相互融合。更深入的根底探讨：对数学根底的更深入的探讨及由此引起的数理规律的进展。2.简述关于数学根底的三大派流。 答：数学根底的三大流派是规
13、律主义、直觉主义、形式主义。 规律主义以英国的罗素为代表，认为数学就是规律，全部数学可以由规律推导出来。 直觉主义以荷兰的布劳威尔为代表，认为数学独立于规律，坚持数学对象的“构造性”主义。 形式主义以德国的希尔伯特为代表，试图将数学彻底形式化为一个系统，数学语句的公式表达，用形式的程序表示推理。 1.简述20世纪作为应用数学的新世纪。答：在20世纪，数学产生了空前广泛的应用。 （1）数学的应用突破了传统的范围，而向人类几乎全部的学问领域渗透，产生了诸如数理化学、数理经济学、数理心理学等穿插学科。 （2）纯粹数学的几乎全部分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参加了渗透，例如，数论在密码技术、
14、卫星信号传递、计算机、量子力学等学科中发挥重要作用。 （3）现代数学对生产技术的应用越来越直接，例如，数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，应用于技术局部以替代耗资巨大的试验。 （4）现代数学产生了一些相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、掌握论等。2.简述计算机对数学的影响。答：计算机对数学产生了重要影响。 （1）计算数学的兴盛计算机，促进了各种计算方法的产生，等形计算力学等数学分支。 （2）纯粹数学讨论与计算机，用计算机解决了重大大数学问题，如证明四色定理，计算机依无可比比较的计算速度和图像显示动能，帮忙数学家猜想新的事实，发觉新的定理，如孤立子、混沌等。 （3）计算机科学中的数学，计算机
15、召唤新的数学思想，如组合数学、模糊数学、机器证明等，随着计算机科学的进展而进一步进展。1.简述四色定理的证明过程。 答：四色问题也称为四色猜测或四色定理：为了给任意一张地图着色，使有公共边界的任何区域颜色不同，至多需要四种颜色。 1852年，英国大学生古德里首先提出，1878年法国数学家凯莱的文章论地图着色掀起了一场四色问题热，1879年英国肯波引入“不行避开集”与“可约性”两个关键概念，1900年希伍德证明五色定理，1969年德国希斯找到解决问题的“放电算法”。 1976年6月，美国哈肯与阿佩尔借助计算机最终给与证明，计算机时间1200小时，计算机程序先后修改了500屡次。 2.简述有限单群分类定理的证明过程。答：犹如数论中的素数，物理学中的根本粒子，单群是群论的根本构件，熟悉有限群转化为熟悉有限单群。有限单群分类
