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1、数学积分求体积方法概述摘 要：定积分在大学数学学习及应用中起着非常重要的作用，一直以来定积分问题就 是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，在我们的生 活中起着很重要的作用！空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的，对于 规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,则需要用高等数学积分法加 以解决。本文总结了几种常见的利用积分求立体体积的方法及案例，通过所学积分学知 识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式，同时也介绍了相关的物理方法，并 从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法。关键词：积分；空间立体体积；积分区域；被积函数
2、引言空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学 时就有具体的计算公式,但对于不规则的空间立体体积则难以计算。本文就主要针对各 种形状的空间立体研究计算其体积的简便方法。其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论，文献1就基本上包括了此 问题的所有积分计算方法,并给出了相应的计算公式。文献2-9分别从不同方面对各种 方法进行了细致说明，并对个别特例进行了深入分析，给出了特殊的积分计算方法。文献 10则主要是对部分方法做出了总结,并列出了大量相关例题辅助理解。以上文献充分体 现出积分思想在解题中应用广泛，特别是在计算空间立体体积领域。如果我们能够在积 分学的基础
3、上掌握空间立体体积的计算方法，则能使一些复杂的问题简单化，还易让人接 受。所以我们要分析掌握积分法，以便于解决与此相关的各种复杂问题，特别是各种空间 立体体积的计算问题。空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积 表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特 征、积分区域及被积函数特点，选择恰当的积分方法,使空间立体体积的计算简单明了。 本文在上述文献的基础上，总结了中学常见的空间立体体积的计算方法。同时又探讨了 它们和其它不规则立体的多种积分计算方法，最后还介绍了求解空间立体体积的物理方 法,充分展示了空间立体体积计算方法的多样
4、性及灵活性，特别是积分思想在此领域的运 用，有力地拓展了求解立体体积的思路。1用定积分计算空间立体的体积当空间立体是旋转体或垂直于坐标轴的截面面积已知时，可用定积分计算其体积，分 下面几种情形。1.1已知平行截面面积的立体体积的计算对于空间一个立体，如果用垂直与某一定轴的任意平面去截立体，得到的截面面积都 是已知的(即可以用学过的知识，公式计算)，由于这些截面都是互相平行的，则称为平 行截面面积为已知的立体。用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，常见的已知几何体的 截面积求几何体的体积，另一种是求旋转体的体积，解此类题常用的方法是我们将此物体 划分成许多基本的小块。设。为三维空
5、间中的位于a，b上的立体，若。的平行截面面积 函数为A (x)，A (x)在区间a，b连续，则对应于小区间x，x + dx的体积元素为dV = A(x) d x，则。的体积为V = j bA(xL 1a例1把长方体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例1中长方体的体(x| b )截长方体截积。解 如图一所示对长方体建立三维直角坐标系，则以平面x = x0面即为以a长，以c为宽的长方体，则其面积s = ac。故由公式(1)求得长方体体积为V =bacdx0=abc.图一例2把椭球体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例2中椭球的体积。解 所给椭球，其椭球面方程为三+站+工 a 2 b
6、2 c 2=1,以平面=(0| a)截椭球面，得椭球在yz平面上的正投影:y2b 2 1 o2a 2)z2T-c2 1 I化椭球为参数方程y = b 1 - cos t, z = c、：1 Xo2 - sin t, t e 。,2兀.a 2 a 2则由曲线所围图形的面积公式，求得此椭圆所围面积为i /1 A =j2 cJ1 - Xo2 - sin t 0 a 2r . x2,bJ1 , cos tV a 2V)dt=兀 bc 1 0故其截面面积函数为A()阮1a eV )a, a .于是由公式(1)求得椭球体积为V = !a 兀 bc 1 一、dxa 2 /4=兀 abc。34显然，当a =
7、b = c = R时,这就等于球的体积3兀R3。例3把圆柱体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例3中圆柱体的体 积。解 如图二所示以圆柱体底面圆心为坐标原点，以底面两互相垂直方向分别为X轴及y轴方向，以下底面圆心到上底面圆心方向为z轴方向，建立三维直角坐标系。则以平面Z = Z0(Z| h)截圆柱体,得截面即为以%为半径的圆,故截面面积为S =兀蓄故由公式(1)求得圆柱体体积为V = jh 兀 r2 dz0=兀 r2 - h.例4把圆锥体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例4中圆锥体的体 积。解 如图三所示，若以平面z = zI h)截取圆锥体,得截面即为以hx为半径的圆, (
8、r 故截面面积为S =兀书X .h )故由公式(1)求得圆柱体体积为V = jh 兀0r r )-tx Ih )2dz=-兀r 2.h.301.2旋转体体积的计算设f是la,b上的连续函数，。是由平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为A(x)=兀f (x) T =兀 r 2 h. 0又因同底同高的两个圆锥，在相同高度处的截面为相同的圆，即截面面积函数相同，所以 任一高为h，底半径为r0的圆锥(正或斜)，其体积恒为3兀r2h。,x e a,b 1故旋转体Q的体积公式为V =肩 bf (x) 2dx 2 h(2)。a例5把圆柱体看作旋转体运用定积分法计算圆柱体的体积。解 如图四
9、所示,此圆柱体可由平面图形y = r , x eh混绕x轴旋转一周而得。故由公式(2)知其体积为V =兀 jhr2dx=兀 r2 - h。图四例6把圆锥体看作旋转体运用定积分法计算例4中圆锥体的体积。解 如图五所示,这圆锥体可由平面图形0 |y| 0时，二重积分h f (x,y认在几何上表示以Dz = f (x,y)为曲顶,D为底的曲顶柱体的体积。其中二重积分计算时可根据积分区域D的特点，把积分区域化为x型区域或y型区域，即把二重积分化为累次积分直接计算，或利 用对称性简化积分区域,或根据被积函数特点对二重积分进行变换后计算国。当曲顶柱体关于坐标轴对称时，可直接利用对称性,简化积分区域，进而使
10、计算更简 便。例7用二重积分法计算长方体的体积。解此长方体如图一所示，可看作以Z = C为顶的立体,以长方形区域D = t, y )0 x b,0 y a为底的柱体。故其体积为V = jj cd。D=jb dx j acdy00=abc.例8用二重积分计算例2中椭球体x 2y 2z 2+ 二 + 1 a 2b2c 2的体积。解由对称性,椭球体的体积V是第一卦限部分体积的8倍,这一部分是以z = c、：1-三-2为曲顶，以四分之一圆域 a 2 b 2(x, y )|0 y bj 1 - ,0 x 为底的曲顶柱体，所以V = 8jj c ；1 - - dxdy.a 2 b 2D应用广义极坐标变换，
11、由于z = C、M，故由公式（4 ）知V = 82兀d0 f igl- r2abrdr 00=8abcf 2兀 d0 f1 r*1- r2 dr 004兀7 abc.3显然当a = b = c = R时，则得球的体积为色R3.3例9用二重积分计算例3中圆柱体的体积。解 以如图二所示此圆柱体可看作以乙=h为顶,D = (x, y)- r x r，一Jr2 x2 y r2 -x2 为底的柱体。D =J r0 dx f rL-r0=2f ro h、：r2 x2dx-ro=兀 r2 - h.ohdy_v r0 - x 2例10用二重积分计算例4中圆锥体的体积。一 .一 一 h .解 以如图三所示此圆锥
12、体可表示为z = hx2 + y2。此圆锥体在xoy平面上的投影0为x2 + y2 = 1, z = 0.这是xoy平面上的圆,故积分区域为八)D = vx, y)- r x r ,-.、： r2 一 x2 y p r2 一 x2 。被积函数为故所求体积为h :1V = JJ 一 X2 + y2 d。Dr0=r0 dx r h i-r0h；x2 + y2 dy-V r0 - x2 r=4j r00y，x 2(,),x2 + y2 +-ln y + qx2 + y2,()r / . x2I.),r2 x2 + 万lnr2 x2 + r dx宙-x 2dx h =4jr00 r0 L1=兀 r 2
13、 h.3 0若被积函数f (x, y)在积分区域D上可积，变换T: x = x(u,v), y = y (u,v)满足变换条件，则jj f (x, y )dxdy = ff f (x(u, v), y (u, v) J (u, v)|dudv 团DA为经变换T后的uv平面上的积分区域，且J(u,v)=牛纣莉,(u,v)eA。8(u, v )(3)其中A例11设f (x, y )=2为定义在可求面积的有界闭区域D上的非负连续函数，且 y2 + xy3D为平面曲线xy = 1,xy = 3,y2 = x, y2 = 3x所围成的有界闭区域。求以乙=f (x, y)曲面为顶,D为底的空间立体的体积。解 如图六阴影部分即为D区域，则所求体积”3xV = jj dxdy.y2 + xy3D令u =xy,y 2v = 一,I x8(u, v )sTX?D变为1 u 31 v 3故由公式（3）得
