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1、高一数学典型题型讲解 Creator Xianneng Luo集合1.集合点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.一般用大括号表示集合。例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成汽车、飞机、轮船为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C表示集合，例如Aa,b,c。2.集合中的元素集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆.集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，表示.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；
2、如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.3.集合中元素的特性(1)确定性 对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准是xA，还是x A，二者必成其一，不会模棱两可.例如：“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准.(2)互异性对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一个。如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1x21，用集合记为，而不写为1，1，如果把集合，2,3,4的元素合并起来构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4这四个元素.(3)无序性 集合中的元
3、素是不排序的。如集合1，2与2，1是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如-1，0，1，2而不写成0，1，-1，2，这样写不方便，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.4.集合表示法(1)列举法 将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内.(2)描述法 用描述表示的集合，对其元素的属性要准确理解.例如，集合yy=x2表示函数y值的全体，即yy0；集合xyx2表示自变量x的值的全体，即xx为任一实数；集合x,yy=x2表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集(一条抛物线)；而集合y=x2则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素(方程y=x2)的有限集.(3)图示法 为
4、了形象地表示集合，我们常常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合。例如，如图可表示集合1,2,3,45.特定集合表示法自然数集(或非负整数集)，记作N，自然数集内排除0的集，也称正整数集，记作N*或N+(注意，自然数集包括0)；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；Z，Q，R等数集内排除0的集，分别表示为Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).6.集合的分类有限集：含有限个元素的集合叫做有限集.例如：A1,2,3,4无限集：含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如：集合N+空集：不含任何元素的集合称为空集.例如：集合方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集.典型例题题型一：
5、集合概念的理解及表示方法例：下列对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x4+x2+20的实数根；(4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点). 图甲 图乙 解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合：描述法：(x,y)yx；图示法：如图乙中直线l上的点.(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x
6、4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：或者xRx4+x2+2=0.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合；(x,y)-1x2，- y2，且xy0评析 只要对象是确定的，看作一个整体，便形成一个集合，否则，不然.例： 下面六种表示法：(1)x-1，y=2，(2)(x,y)x=-1,y=2，(3)-1，2，(4)(-1，2)，(5)(-1，2)，(6)(x,y)x-1或y2，能正确表示方程组 的解集的是：A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(
7、4)(5)C.(2)(5) D.(2)(5)(6)分析 由于此方程组的解是 因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).解：因为(x,y) (x,y) (-1，2)故选C.评析 集合(1)既非列举法，又非描述法.集合(3)表示由-1和2两个数组成的集合.(4)是一个点.(6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,yR是一个无限集.以上均不合题意.题型二：元素与集合关系的考查例：用符号或 填空.(1)3.14 Q，0 N， Z，(-1)0 N，0 (2)2 xx ，3 xx4， + xx2+ ；(3)3 xxn2+1，nN，5 xxn2+1，nN；(4)(-1，1) yyx2,(-1,1
8、) (x,y)yx2解：(1)、 、 (空集不含任何元素)；(2)2 ，3 4，+ 2+ ，故填 、；(3)令n2+1=3，n n N.令n2+15， n2，2N，故填 、；(4) ，.(因为yyx2中元素是数而(-1，1)代表一个点)题型三：集合表示方式的转换例： 用另一种形式表示下列集合(1)绝对值不大于3的整数(2)所有被3整除的数(3)xxx，xZ且x5(4)x（3x-5）(x+2)(x2+3)0，xZ(5)(x,y)x+y=6，xN+，yN+解：(1)绝对值不大于3的整数还可以表示为xx3，xZ，也可表示为-3，-2，-1，0，1，2，3；(2)xx3n，nZ；(说明：被3除余1的整
9、数可表示为xx=3n+1,nZ)；(3)xx，x0，又xZ且x5，xxx，xZ且x5还可以表示为0,1,2,3,4(4)-2(注意xZ)(5)(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)例5：用另一种形式表示下面的集合：x(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,xZ.、错误解答 集合的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)0的根组成的，解方程，得x ，x-2，x 原集合可以表示为 ，-2， 错误存在于解方程的过程和最后的集合表示当中，解方程时应注意到x2+10，xR，所以，方程的根为x ，x-2.注意到已知条件xz R，才不致造成错误.因为 Z 所以，正确答案应为-2或
10、写作xx=-2.题型四：集合元素唯一性的考查例：在数集中，实数x的取值范围是-思考：例：已知Axxa+b ，a,bZ，分析判断下列元素x与集合A之间的关系：(1)x0，(2)x ，(3)x .分析 x与A的关系只有xA和x A两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b (a,bZ)的形式.解：(1)因为00+0 ，所以0A.(2)因为x - ，无论a、b为何整数，a+b - 不能成立，所以x A.(3)因为x 1+2 ，所以 A.评析 研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要准确判断元素的属性.例： 已知集合Apx2+2(p-1)x+1=0,xR，求一次函
11、数y2x-1，xA的取值范围.分析 关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.解：由已知，4(p-1)2-40.得p2或p0.所以App2或p0.因为xA，所以x2或x0，所以2x-13或2x-1-1，所以y的取值范围是yy-1或y3.子集 全集 补集1.子集(1)集合与集合之间的“包含”与“相等”关系对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，记作A B(或A B)；B A(或B A)；当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作对于两个集合A与B，
12、如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作AB.即若A B，又B A，则AB.(2)子集和真子集若A B(或B A)，则A是B的子集.空集是任何集合的子集，即 A.任何一个集合是它本身的子集.即A .对于两个集合A与B，若A B，并且AB，则A是B的真子集，记作A B(或B A).空集是任何非空集合的真子集.若A B，B C，则A C； 若A B，B C，则A C.2.集合相等的概念教材中是用“A B且B A，则AB”来定义的，实际上也可以说当集合A与B的元素完全相同时，则AB.教材中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等
13、的方法：即欲证AB，只需证A B与B A都成立即可.3.全集如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，由U来表示.全集具有相对性.4.补集(1)补集是以“全集”为前提而建立的概念，而全集又是相对于所研究的问题而言的一个概念；只要包含研究问题的全体元素的集合都可作为全集.(2)所谓CUAxxU但x A，A U就是说从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合就是CU.(3)由定义有如下关系：CU(CUA)A，CUU ，CU U典型例题题型一：集合间相互关系判定例:设全集为R，集合Axx1，Bx 0则( )A.A B B.B A C.CRA B D.A CRB解：解不等式x1得Ax-1x1，解不等式 0得Bxx2.CRBxx2A CRB，
