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1、数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。所定义的物理量则称为场函数。如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。如果场函数只与空间变量有关，而与 时间 变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。平面场中的一个区域实际上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。平面场
2、中的一个重要概念是复位势：。其中实部称为力（流）函数；虚部称为势函数。这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为；等势线的方程为。要求：熟悉以上概念；给了场函数，会求复位势；给了复位势，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 第六章 保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。单叶解析函数也称保角变换。保角变换具有保角性。分式线性变换是指 ，其中系
3、数应满足 。它把圆（或直线）变为圆（或直线）；它具有保角性、保圆周性、保对称点性。分式线性变换可以分解为两个整线性变换和一个倒数变换。幂函数把顶点在原点、张角为的角形区域变为顶点仍在原点、张角为的角形区域；根式函数则把顶点在原点、张角为的角形区域变为顶点仍在原点、张角为的角形区域。指数函数把平行于实轴，宽度为的带状区域变为顶点在原点、张角为的角形区域；对数函数则把顶点在原点、张角为的角形区域变为平行于实轴，宽度为的带状区域。要求：熟悉以上概念；会按要求做变换。典型习题：3，9第十一章概念：1、拉氏方程的球对称解是：，相应的直角坐标形式是：；它是除点外全空间上的调和函数；2、拉氏方程的轴对称解是
4、：，相应的直角坐标形式是：；它是除点外全平面上的调和函数。3、第二格林公式：，这里是区域的边界面。4、调和函数的4条基本性质：1) 成立公式2) ；3)4) 极值原理：调和函数的最大值和最小值只能在边界上达到。5、定解问题称为球的狄利克雷问题，它的边界条件属于第一类边条件。它的解法称为镜象法（或格林函数法）。与之相应的格林函数是，其中。 （是关于球面的反演点），。相应区域上边值函数为的狄利克雷问题的解则是；在球坐标下，这个解可以进一步转化成。6、在半径为的圆形区域上，二维拉氏方程的格林函数是=，其中。，点是点关于圆周的对称点。相应区域上边值函数为的狄利克雷问题的解则是（或 ）；这种问题的解法称
5、为格林函数法（或镜象法）。7、格林函数的定义是：（或），其中满足。它具有对称性，即。8、常见区域上的格林函数： 球： ； 圆： =； 上半空间： ； 上半平面：=；要求：1、熟悉以上概念；记住要记的公式；2、会求球形区域、圆形区域、上半空间和上半平面上的格林函数。典型习题：1、试导出右半平面中的格林函数并求解。2、试导出右半空间中的格林函数并求解。第十三章 付氏变换概念：付氏变换的定义：；付氏变换的性质：线性性；乘积定理；卷积定理；象原函数的微商定理；象函数的微商定理基本解的定义：设有微分方程（或定解条件），则称方程的解为微分方程（或定解条件）的基本解。要求：1、 熟悉付氏变换的定义；掌握付氏
6、变换的运算性质；会证其中的两个微商定理。2、 会用付氏变换求解初值问题；3、 熟悉基本解的定义，会用付氏变换求一维热传导方程的基本解。典型习题：例1、例2、5、6第十四章 拉氏变换概念：拉氏变换的定义：；拉氏变换的性质：线性性；乘积定理；象原函数的微商定理；象原函数的积分定理；象函数的微商定理；象函数的积分定理；相似定理；位移定理；滞后定理；卷积定理；卷积定义：。要求：1. 熟悉拉氏变换的定义；掌握拉氏变换的运算性质；会证其中的两个微商定理。2. 熟悉函数(即)、和等常见初等函数拉氏变换的象函数。3. 会用拉氏变换求解常微初值问题。典型习题：例9、例10、6、7第十七章 厄密多项式和拉盖尔多项
7、式概念：1、三种形式的厄密方程： 原始形式 标准形式 阶厄密方程的特征值：；相应的特征函数： 或 ；厄密多项式的微分表达式：厄密多项式的递推公式：； 厄密多项式的正交归一关系： 其中：权函数是，模是，归一化因子是。2、三种形式的拉盖尔方程： 原始形式 标准形式 阶拉盖尔方程的特征值：；相应的特征函数： 或 ；拉盖尔多项式的微分表达式：广义拉盖尔多项式的递推公式： ；狭义拉盖尔多项式的递推公式：；拉盖尔多项式的正交归一关系： 其中：权函数是，模是，归一化因子是。 3、斯图谟刘维尔问题 边值问题称为斯图谟刘维尔问题；它有可数无穷多个特征值，相应的特征函数族构成区间上带权的正交归一函数族。要求：1、 认识厄密方程和拉盖尔方程；熟悉它们的特征值和特征函数；记住相关多项式的递推公式；2、 会证明厄密多项式和拉盖尔多项式的正交归一关系；3、 会证明斯图谟刘维尔问题的特征函数在给定具体边界条件下的正交性。典型习题：1、证明斯图谟刘维尔问题属于不同本征值，的本征函数,的正交性。2、方程的名称是什么？写出相应的多项式解的递推公式和正交归一关系。3、方程的特征值是 。它的特征函数是 。4、方程的名称是什么？写出相应的多项式解的递推公式和正交归一关系。5、已知厄密多项式的微分表达式是，试由此和它的递推公式证明厄密多项式的正交归一关系： 。
