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1、 1.4行列式的性质a11a1na11a n1,DT，则D Ta n1a nna1 na nn性质1设DD 证令 bjaji (i, j 1,2,n),则biib1 nbn1bnn()b1 p1 b2 p2(P1P2 Pn)(P1P2Pn)ai1aina j1a jn性质2设ij, D,D1,则D1a j1ajnai1ain(1) a P11a P22a Pnn(P1P2 Pn)证 bikajk，bjkaik (k 1,2,n)(根据Th2)l i, j ： bkaik (k 1,2,n)D1bi1bj1binbjn(1)(biPibjPj )(PiPj )(1)t(1)(bjPjbiPi)t
2、( Pj Pi )qi Pj , qj Pil i,j： qiPlt( qi qj )(1)( 1)t(aiPjajPi)(1)( 1)t(% ajqj ) D推论1 D对调两列得D2D2 D .证 因为D对调两列得D2,相当于DT对调两行得D；所以 d2 d； dt d推论2 D中某两行（列）元素对应相等D 0 .证因为对调此两行（列）后,D的形式不变所以D D例如，对于任意的a,b, c,都有aiia11ka1 j性质3kai1kainkD,kDan1kanjannan1ann证（1）左端1) a1P1(kaipi)anPn (PiPiPn)aiPianpn) kD推论推论D中某行（列）元
3、素全为0D中某两行（列）元素成比例a11a1na11a1 na11a1nai1ainbbinCi1Cinan1annan1annan1ann证左端(1)(a1 P1aiPi叽）(P1(1)(a1P1SianPn)(1)(a1P1c,n),则性质Cj (j4jPiiPi右端（1）+右端若对某个i,有ajbjPn)注性质4对于列的情形也成立.ai1ainri krjai1aj1aina jnaj1a jnaj1ajn性质5(ij)1注性质5对于列的情形也成立.计算12345011311331211533153315330105550211(5)011101610110023002302191101
4、110211解D153315330111(5)0111002300231100310002(5)55aax计算Dnri(r2rn)解Dnx(n1)ax(n1)ax(n1)a(xn 1a)ai1ai, n 1ain1 232 10例7计算Dn301n00nc1 jCjDnj2, ,n001001 (22n2) 1.5行列式按行（列）展开余子式：在n阶行列式中，将元素aj所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的n 1阶行列式，称为元素玄耳的a11第1步:Mnn(1)(P1PnP1an 1,Pn 1an 1,1a1,n 1余子式，记作M代数余子式：儿糸aj的代数余子式Aj(1)ij
5、Mj .a11a12a1n定理3 Da21a22a2nan1an2annai1 Ai1ai2Ai2a in Ain(i1,2,n)a1 j A1ja2j A2ja nj Anj(j1,2,n)证证明第一式，分以下3步.(1 Pi n 1)an 1,1an 1,n 1an 1 ,n00ann(1)5Pn lPn),ai Pian 1,Pn i an,Pn(1)(P1Pn1Pn)弘1Pnn1)(P1Pn1Pn)弘1(Pnnann(1)(P1Pn1n)a1an 1,Pn 1 an, Pn +an 1,Pn 1 an, Pnan 1,Pn 1( P1Pn 1n) ( P1 Pn 1)annMnnann
6、 (1)nnMnn第2步:D(i, j)-a1 j-D11-1-D2iai 1,ji00aij00iai 1,j:1D3；1D4-1anj-a1j1)(n i)(nj)D1 i D2ai 1,jD3D4:B! anjRii vai e Bar vhi” ?0000 ay(1) ( j)aij M ij aij Aij第 3步：D D(i,1)D(i,2)D(i, n)例8计算Dai1Ai1ai2 Ai2ain Ain153320 113 112 4 13116 02114712316(1)32 2120 0(1) 2 17 0例9计算D2nD2n(1)12 21)( 1)20ab:ia bc
7、dcdab=4 “ 4 j =二.“-.i = 1寸 5 W !“ niacd108D2(n 1):I 000 d(2n550(1)12nb0D2(n 1)c01)0 (2n 1)(1)(2n1) (2n1)ad D2(n 1)( 1)( 1)(2n1)1bc D2(n 1)(ad bc)D2(n1)(ad bc)n 1D2a bD2ad bcc dD2n (ad bc)n1 ： 1II仁221例10计算Dn1033；ii1 1 00 n 1 | n 1丿 im * an f * b e 1 ； 000； nD2Dn课后作业:nDm ( 1)n 1(n1)!n (n1)Dn2(1)(n 1) 1n(n1)Dn2(1)n n!(n 1 1)!( 1)n 1(n(n 1解Dnn(n1)!1)3D21)n 1 n!n(1)4n!n 1 n!1)- n1)21)3(1)32(1)n1n4(1)5(1)7(1)习题一
