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1、常数项级数内容要点 一，概念与性质（一）概念由数列u , u ,u ,构成的式子12+gYun-1称为无穷级数，简称为级数. u称为级数的一般项，ns - Y u 称为级数的部分和.nii-1如果 lim snn T g-s，则称级数Y u收敛，s称为该级数的和.此时记Y unn -1n -1- s .否则称级数发散.（二）性质1,收敛，则Y ku - k Y unnn -1n -1n -12,n -1n -1gg土 v 丿-乙u 土乙vnnnnn -1n -1n -13,4,级数增减或改变有限项，不改变其敛散性. 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛.5（收敛的必要条件），若Y u收敛
2、，则lim u - 0.n nTgnn-1注意：若lim u丰0.则Y u必发散.而若Y u发散，则不一定lim unnnnTgn -1n -1丰0.（三） 两个常用级数1, 等比级数2, p -级数Y aqn-001 1空1npn-1二，正项级数敛散性判别法（一） 比较判别法设为u , X v均为正项级数，且u v (n = 1,2,)，则nnn nn-1n -1为v收敛n X u收敛；nnn -1n -1Z芒u 发散 n X v 发散nnn-1n-1(二) 极限判别法如果 lim nu - l(0 l 1, lim npunn T 8-l (0 l +8 ),则 X u 则收敛.nn-1(
3、三) 比值判别法设X u为正项级数，若nn-1 1 n f二，交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法：设乞(-1 )n-1 u (u 0)为交错级数，如果满足: nnn -11, u u (n - 1,2,)2, lim u - 0nn +1nnT8则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛绝对收敛如果X |un -1|收敛，则称X u绝对收敛.nn -1条件收敛如果X un-1收敛，但X u |发散，则称X u条件收敛.nnn -1n -1(三) 定理 若级数绝对收敛，则该级数必收敛.例题：例1判断级数 X- ； (2) X 丄的敛散性.n ； n加 nn-1n-1解：为一=i - ( p =
4、i)收敛ny n32n =1n=1 n 2(2)由于 lim n n = 1 n lim unn T8n Jglimn T g11发散.3n(2)由于丄n2n(3) 由于级数 in=1n(n + 2)级数 in=13n发散.n2n，而ii 1发散,由比较判别法可知(n + 1)( n + 2)n+2n+2nn=3n+1发散.n(n + 2)例 3 判别下列级数的敛散性：g(1) in=1(n 1)!； (2)ign!例2判别级数.(1)i1； (2) i ； (3) i n + 1的敛散性.(n 1)(n+3)n=2n2nn=1n(n + 2)n=1解：(1)由于1丄(n = 1,2，)，而i
5、丄发散，由比较判别法可知n解：用比值判别法(1) limlimn!1lim = 1,故i发散.nnnTgn=1n!n!例4判别级数(1)；(2)i ln f 1 +丄的敛散性.n = 1 加nn =1 I n 2 丿解：(1) 由于 lim nunn T81 1=lim n= = lim -= = 1 0 ,rrmg nn n mg nn故由极限判别法可知级数为斗 发散.nn n(2)lim n 2 ln(1 +1 = lim ln(1 +1 AnTgn 2 丿nTgn 2 丿n =1由于 lim n 2 unn Tgg ( 1 、 故由极限判别法可知级数工ln 1 + 收敛.ln e = 1
6、,I n 2 丿n = 1例5问级数为(-1) ”C仝是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛? n2n = 1解：由茉布尼兹判别法可知为(-1)与为(-1)丄均收敛，从而原级数收敛.n =1n2n = 1另一方面，(-1)c + n n 1g 1=，而乙一发散,n2n2 nnn = 1故由比较判别法可知)n4n2发散，从而原级数是条件收敛.n = 1练习题1, 用比较判别法判别下列级数的敛散性.Z1-(2) Ln(n + 1)2nn=1n=12, 用比值判别法判别下列级数的敛散性.ln n 2(3)为 sin 2 (2n - 1)n2为上Z2 + n2=1(1)工上 (2)为3(2n
7、一】)n!2 5(3n 1)n =1n = 13, 用极限判别法判别下列级数的敛散性.(3)5 n23n=1(1) L 丄 Lln n(2n + 3)n nn2n=1n=14 判断下列级数是否收敛？如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？111(1) 1 23 v4(2)为(-1 )n-1n =1(4)为(一 1)nln( n + 1)11111 11 1(3)-+-+ 3 2 3 2 23 233 2答案：1,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散 2,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 3,(1) 发散(2)收敛 4,(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛 (4)条件收敛 幂级数
8、内容要点一，幂级数的收敛域1, 形如工a xn = a + a x + a x2 + a xn +的函数项级数称为幕级数.n012nn-12, 幕级数的收敛区间是一个以原点为中心的对称区间，即(-R, R)3, 如果limn T8an +1apP，则收敛半径R - + ,0,0 p +8p -0p - +8收敛区间再加上收敛的端点称为收敛域.4,，幕级数的逐项求导与逐项积分的性质1, 在收敛区间内n - 12, 在收敛区间内dx0 n - 1三, 将函数展为幕级数常用结果：1,x2 xnex -乙 -1 + x + + +n!2!n-0xn+ .n!x +8)2,8 x n x 2ln( 1
9、+ x)-乙(-1)n-1- x -+ +n2(-1)Txn+ (一 1 x 1) nxn(-1 x 1)頁xnln 1 - x)-一乙 -x -nn - 14,8n-1x 2 n-1sin x = Z (- 1)(2n - 1)! n - 1x3x + +(- 1 )n -1x 2 n-1(2 n 1)!+( -8 x +8 )cos x -为(-1)nn-0x2 nx2(2 n I2!+ + (- 1)nx2 n(2 n ) +(-8 x )(1 x 1)5, =工 xn = 1 + x + x2 + + xn +1 一 xn - 0注(-)xn(1)xn +(一1 x 1)例题例 1 求
10、幂级数x 2 x3x n1 + x + + + + + 23 n的收敛半径与收敛域.解：由于limlimlim=1=p所以,收敛半径= 1 收敛区间为(一 1,1).当x = 1时，原级数为1十工收敛; nn = 1当x = 1时，原级数为1十为发散.故收敛域为1,1). nn = 18 x n例2求幕级数工 的和函数.nn = 1解：不难求得收敛域为I = 1,1)设和函数为S (x)即S (x) = X , x g I nn=1逐项求导，S/(x) = X xn-1 = , |x| 1.再积分，便得1 xn = 1x 1S (x) = J dx = l n 1 x), x g I1x0例3求幕级数X (2n 1)xn的收敛域及和函数.n = 1a2 n十11解：p = limn十1=lim= 1 n R =1n T8a2 n1 一 1 n T8厶丄丄pn当x = 1时，原级数=为(2n - 1)( 1)发散，故收敛域为(-1,1).n -1为(2n 1)xn = E (2n + 2)x 3E xn =2E (n + 1)( xndx3n - 1n -10g3 x2 x23 x=2E xn+1 / - / 1 x 1 x 1 xn14 x (1 x) + 2 x2(1 x)2x1x3 x 4 x 2 x23 x (1 x)1 x (1 x )
