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1、绝密启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式
2、：棱锥的体积，其中为底面积，为高。一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合，则 答案：2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生答案：3. 设，（i为虚数单位），则的值为 答案：（第4题）4. 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 答案：5. 函数的定义域为 答案：6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 答案：7. 如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 DABCDA
3、BC答案：（第7题）8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 答案：ABCEFD9. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 答案：（第9题）10. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 答案：11. 设为锐角，若，则的值为 答案：12. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 答案：13. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 答案：14. 已知正数满足：则的取值范围是 答案：二、 解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
4、说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）在中，已知（1） 求证：；（2） 若求的值解：（1）由正弦定理得：（2），且又或，必为锐角，否则，同时为钝角，这与三角形的内角和小于矛盾16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点求证：（1） 平面平面；（2） 直线平面证明：（1）三棱柱是直三棱柱，且（2），直三棱柱中，是的中点是的中点，且四边形是平行四边形，平面17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向
5、有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1） 求炮的最大射程；x（千米）y（千米）O（第17题）（2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：（1）炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标令，则炮的射程可表示为炮的最大射程即的最大值由题意得，当且仅当时，等号成立炮的最大射程是。（2）飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a飞行物的坐标为炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：关于的方程在上有解有正根只需即只需要不超过即可。18.
6、（本小题满分16分）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1） 求a和b的值；（2） 设函数的导函数，求的极值点；（3） 设，其中，求函数的零点个数解：（1）1和是函数的两个极值点1和是方程的两个根由韦达定理得，（2）函数的导函数令解得，当时，当时，不是的极值点当时，当时，是的极大值点（3）令，则讨论关于的方程的根的情况当时，由（2）得的两个不同的根为和，注意到是奇函数，所以的两个不同的根为和。当时，因为，所以都不是的根，由（1）知 当时，于是是单调递增函数，从而，此时无实根，同理，在上无实根。 当时，于是是单调递增函数，又，的图像不间断，所以在内有唯一实根，同理，在内有唯一实根。 当时，
7、故是单调减函数，又，的图像不间断，所以在内有唯一实根。由上可知，当时，有两个不同的根，满足，；当时，有三个不同的根，满足；现考虑函数的零点：（1） 当时，有两个根满足，而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点；（2） 当时，有三个不同的根满足，而有三个不同的根，故有9个零点；综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点。19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（1） 求椭圆的方程；ABPOxy（第19题）（2） 设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i） 若，求直线的斜率
8、；（ii） 求证：是定值解：（1）椭圆的方程为，和都在椭圆上带入椭圆的方程得：由及解得：，椭圆的方程为（2）（i）设直线的斜率为直线与直线平行直线的斜率也为左、右焦点的坐标分别为，直线的方程为，直线的方程为设，A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，由得，由得，同理解得：（ii）直线直线同理由（i）得，是定值20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：（1） 设，求证：数列是等差数列；（2） 设，且是等比数列，求和的值解：（1）（2），是各项都为正数的等比数列设其公比为，则当时，数列是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得当时数列是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得由得：得：，且数列是公比为的等比数列 当时数列是单调递增的数列，这与矛盾 当时数列是常数数列，符合题意
