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1、D ACD（新课标）备战高考数学二轮复习难点 2.8 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题教学案文立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能 顺利解答从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理本 文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨1立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关
2、键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.例【河南省中原名校 2018 届第五次联考】如图甲，在四边形 ABCD 中， AD =2 3, CD =2 ， DABC是边长 为 4 的正 三角形，把DABC沿AC折起到DPAC的位置，使得平面PAC 平面ACD，如图乙所示，点 O, M
3、 , N 分别为棱 AC , PA, AD的中点（1）求证： AD 平面 PON ；（2）求三棱锥 M -ANO 的体积思路分析：（1）在正三角形 DAPC 中可得 PO AC ，有根据题意得到 PO 平面 ACD ，从而得 PO AD ，计算可得 AD CD 由 O , N 分别为棱 AC , AD 的中点，得到ON / / CD ，故 ON AD 根据线面垂直的判定定理可得 AD 平面PON（2）由条件得SDACD=2 3，故SDNAO=1 3S =4 2，又可得点 M 到平面 ANO 的距离为 h =12OP = 3，故可求得三棱锥 M -ANO 的体积1 / 5 3 3 65 6 3
4、6 5 65 （新课标）备战高考数学二轮复习难点 2.8 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题教学案文点评：本题考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化 情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题这正是折叠问题的价值之所在2立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积 等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题
5、意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基 本可以找到解题的途径例 2【宁夏育才中学 2018 届第三次月考】一个棱长为 5 的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个 小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为_【答案】53【解析】设大正四面体的内切球半径为 r，则1 1 3 1 1 3 4 r 52 = 53 2 2 3 2 22 525
6、 3 - 2解得r =5 612.设小正四面体棱长的最大值为x，内切球为小正四面体的外接球，则r22 2 2= x + x -r ，即 = 3 3 12 32 2x + x - ，解得 x = . 3 12 32 / 5（新课标）备战高考数学二轮复习难点 2.8 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题教学案文点评：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线
7、上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最
8、值解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法 等3立体几何中的探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，
9、对于常见的 探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的例 3【江西省 2018 届 1 月联考】如图，多面体ABC -DB C1 1是由三棱柱ABC -A B C 1 1 1截去一部分而成，D 是 AA 的中点.1（1）若AD =AC =1 ， AD 平面 ABC ， BC AC ，求点 C 到面 B C D1 1的距离；（2）若 E 为 AB 的中点， F 在 CC 上，且1CC1 =lCF，问 l 为何值时，直线 EF / / 平面 BC D1 1？3 / 5（新课标）备战高考数学二轮复习难点 2.8 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题教学案文思路分析：（1）由BC CD，CD C
10、 D1，可得CD 面DC B1 1，即点C到面B C D1 1的距离等于CD；（2）当 l =4 时，直线 EF / / 平面 BC D1 1，理由如下：取DB1的中点 H ，连接 EH，可得AD / / EH / / CC1，当 C F =EH = 132时，四边形C FEH1为平行四边形，即EFHC.点评：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下 列二种方法：
11、通过各种探索尝试给出条件;找出命题成立的必要条件，也证明了充分性综合以上三类问题，折叠与展开问题、最大值和最小值问题和探究性问题都是高考中的热点问题，在高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛折叠与展开问题是立体几何的一对问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；求最值的途径很多，其中运用公理与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思4 / 5（新课标）备战高考数学二轮复习难点 2.8 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题教学案文想或向量的方法转化为代数的问题解决如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件 ，或出现了矛盾，则不存在另外对于立体几何中的上述三种问题有时运用空间向量的方法也是一种行之有效的方法，能使问题简单、有效地解决解答这些问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过一些必要的练习，加强解题信心的培养，确定解题的 一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答5 / 5
