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1、For personal use only in study and research; not for commercial use全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可
2、作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法:遇到等腰直角三
3、角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上
4、的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、
5、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_.解:延长AD至E使AE2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值范围是1AD4例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.解:(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至
6、G使FG2EF,连BG,EG,显然BGFC,在EFG中,注意到DEDF,由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中,由三角形性质知EGBG+BE 故:EFBE+FC例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分BAE. 解:延长AE至G使AG2AE,连BG,DG,显然DGAC, GDC=ACD由于DC=AC,故 ADC=DAC在ADB与ADG中, BDAC=DG,ADAD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG,故有BAD=DAG,即AD平分BAE二、截长补短1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CDAC解:(截长法)在AB上取中
7、点F,连FDADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知DFAB,故AFD90ADFADC(SAS)ACDAFD90即:CDAC2、如图,ADBC,EA,EB分别平分DAB,CBA,CD过点E,求证;ABAD+BC解:(截长法)在AB上取点F,使AFAD,连FEADEAFE(SAS)ADEAFE,ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE(AAS)故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图,已知在ABC内,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP解:(补短法, 计算数值法)延长AB至D,使BDBP,连DP在等腰BPD中,
8、可得BDP40从而BDP40ACPADPACP(ASA)故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分,求证: 解:(补短法)延长BA至F,使BFBC,连FDBDFBDC(SAS)故DFBDCB ,FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC中,ABAC,12,P为AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC解:(补短法)延长AC至F,使AFAB,连PDABPAFP(SAS)故BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+B
9、CBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图,在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+ACAD+AE.证明:取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中,B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD,DC+AE =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度
10、,则BAC+BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.则COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.解:(垂直平分线联结线
11、段两端)连接BD,DCDG垂直平分BC,故BDDC由于AD平分BAC, DEAB于E,DFAC于F,故有EDDF故RTDBERTDFC(HL)故有BECF。AB+AC2AEAE(a+b)/2BE=(a-b)/2应用:1、如图,OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(2)如图,在ABC中,如果ACB不是直角,而(
12、1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。解:(1)FE与FD之间的数量关系为(2)答:(1)中的结论仍然成立。证法一:如图1,在AC上截取,连结FG ,AF为公共边,FBEACD图 12143G, ,AD、CE分别是、的平分线及FC为公共边证法二:如图2,过点F分别作于点G,于点H FBEACD图 22143HG,AD、CE分别是、的平分线可得,F是的内心,又 可证 有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线,底边中线,底边高线例:已知,如图,AB = AC,BDAC于D,求证:BAC = 2DBC证明:(方法一)作BAC的平分线AE,交BC于E,则1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC(方法二)过A作AEBC于E(过程略)(方法三)取BC中点E,连结AE(过程略)有底边中点时,常作底边中线例:已知,如图,ABC中,AB = AC,D为BC中点,DEAB于E,DFAC于F,求证:DE = DF证明:连结AD.D为BC中点,BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB,