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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。高等工程数学练习题 ( 12月16) 1. 位男士和位女士排成一行, 要求男女相间, 求有多少种不同的排法? 把n个男、 n个女分别进行全排列, 然后按乘法法则放到一起, 而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2(n!) 个2. 个人围圆圈坐下做游戏, 求不同的坐法数? 若某两人不愿坐在一起, 有多少种不同的坐法? 若有3人总是坐在一起, 又有多少种不同的坐法? A: Q(n ,n)=(n-1)!;B: Q(n ,n)- Q(n-1,n-1) *2! =(n-1)!- (n-2)! *2! C: Q(n-2,n-2) *3! =
2、(n-3)! *3! 3. 书架上有一部24卷的百科全书, 现要从中取出5本, 使得没有两本书是连续的, 问有多少种不同的取法? C(24-5+1,5)=C(20,5)4. 设 ( 1) 证明最大元素恰为的子集的个数是; ( 2) 证明: A、 最大元素恰为的子集的个数, 相当于前j-1个元素, 每个元素出现或不出现的情况构成的所有子集的数量, 每个元素出现或不出现2种可能, 因此j-1个2相乘即为所有的情况, 即。B:等比数列a1=2,q=2右侧为1+(2*( 1-2m) /1-2)=2(m+1)-2+1=2(m+1)-1=左侧5. 证明等式: C(n 0)*C(n 0)=C(n 0)*C(
3、n n);C(n 1)*C(n 1)=C(n 1)*C(n n-1);C(n k)*C(n k)=C(n k)*C(n n-k) ,K=0nC(n k)相当于( 0 0) 到直线( n 0) (0 n)上的某点( n-k,k) 的路径C(n n-k) 相当于直线( n 0) (0 n)上的某点( n-k,k) 到( n n) 的路径根据乘法原理 C(n k)*C(n n-k)相当于( 0 0) 点经过直线( n 0) (0 n)上的某点( n-k,k) 到( n n) 的路径左侧为( 0 0) 点经过直线( n 0) (0 n)上所有点到( n n) 的路径相加由于( 0 0) 点到达( n
4、n) 的所有路径均经过直线( n 0) (0 n), 因此根据加法原理左侧为( 0 0) 点到( n n) 的所有路径即等于( 2n n) 6. 证明恒等式: ( -r-1,0) 到(-1,i)路径为c(r+i,i)(-1,i)到(0,i)路径为1(0,i)到(n-m,m)路径为c(n-i.m-i)根据乘法原理, c(r+i,i) c(n-i.m-i)为( -r-1,0) 经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径左侧为i取0至m, ( -r-1,0) 经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径之和, 右侧围( -r-1,0) 到(n-m,m)点的路径左右相等7. 求不
5、定方程的非负整数解的个数; 设, 求不定方程的正整数解的个数. C( n+r-1,r) C(n+r-n-1,r-n)=c(r-1,r-n),相当于每盒先放一个球, 球数量变成r-n, 再求解。8. 求集合完全可重排列数.n=14 r=14N=14!/(3!*4!*3!*4!)9. 试求个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案?相当于n个球放入6个不一样的盒子, C(n+6-1,n)10. 设凸边形的任意三条对角线不共点, 试求这个凸边形的对角线交于多少个点?每个交点只有两个对角线经过, 对应了4个顶点所组成的一个组合, 不同的交点对应的组合也不相同, 故共有C(n,4)个交点11. 求由组成的长
6、为的允许重复的排列中, 至少出现一次的排列的数目.|A|=|B|=3n|AB|=2n|S|=4n=4n-2*3n+2n12. 在10个数的全排列中: (1) 恰有4个数在原来位置上的排列数; (2) 至少有3个数在原来位置上的排列数; (3) 恰有个数不在原来位置上的排列数; (4) 奇数都在奇数位上, 偶数都在偶数位上, 但没有一个数在原来位置上的排列的个数.1、 C(10,6)D62、 10!-C(10,8)D8 相当于减去1、 2个数的错排3、 C(10,3)D34、 相当于2组5个数错排的乘法D5*D513. 求解下列递推关系式: (1) X2+14X+49=0 X=-7是二重根 An
7、=( A+Bn) (-7)n (2) X2-12x+27=0X=3 x=9An=a3n+b9na+b=-13a+9b=1a=-5/3b=2/3an=-5*3(n-1)+2*3(2n-1) (3) X3+6x2+12X+8=0X3+4x2+2x2+8x+4x+8=0X2(x+2)+4x(x+2)+4(x+2)=0(X+2)(x2+4x+4)=0(X+2)(x+2)2=0(x+2)3=0X=-2是三重根An=(a+bn+cn2)(-2)n1=(a+0+0)12=(a+b+c)*(-2)4=(a+2b+4c)4a=1,b=-4,c=2an=(1-4n+2n2)*(-2)n (4) X4+x3-3x2
8、-5x-2=0X4+x3-3x2-3x-2x-2=0X3(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)=0(x+1)(x3-3x-2)=0(x+1)(x2-3)(x+1)-(x2-1)=0(x+1)( (x2-3)(x+1)-(x+1)(x-1)=0(x+1)(x+1)(x2-3-x+1)=0(x+1)(x+1)(x+1)(x-2)=0X1=x2=x3=-1,x4=2An=(a+bn+cn2)(-1)n+d2na+d=12d-a-b-c=24d+a+2b+4c=18d-a-3b-9c=1a=16/27,b=-53/18,c=7/6,d=11/27an=(16/27-53n/18+n2(7/6)(-1
9、)n+(2n)(11/27) (5) ; 设an=p5nP5n-4p5n-1=5nP=5因此an=5 (n+1) (6) .An=pn2+qnPn2+qn-p(n-1)2-q(n-1)=4n+1P=2,q=3An=2n2+3n14. 求从1到500的正整数中被3或7整除的数的个数.容斥原理: |AB|=|A|+|B|-|AB|500/3+500/7-500/21=166+71-23=21415. 求1,2,3,5,7,9五个数字组成的位数的个数, 要求其中1,2出现偶数次, 3,5出现奇数次, 7,9没有限制.G(x)=(1+x2/2!+x4/4!+)2*(x+x3/3!+x5/5!+)2*(
10、1+x+x2/2!+x3/3!+)2=(ex+e(-1)2/2*(ex-e(-1)2/2*(ex)2=(1/16)*(e6x-2e2x+e(-2)x)an=(6n-2(n+1)+(-2)n)/1616. 复习第二类数的性质. 复习资数中鸽笼原理部分的例题.17. 四位小朋友排成一行, 但不愿排在第二位, 不愿排在第三位和第四位, 不愿排在第一位, 不愿排在第二位和第三位, 求不同的排法数.A1=x1在第二位、 a2=x2在第三和第四位、 a3=x3在第一位、 a4=x4在第二位和第三位|A1a2a3a4|=n-|a1a2a3a4|=4!-(|a1|+|a2|+|a3|+|a4|-|a1a2|-
11、|a1a3|-|a1a4|-|a2a3|-|a2a4|-|a3a4|+|a1a2a3|+|a1a2a4|+|a1a3a4|+|a2a3a4|-|a1a2a3a4|)=4!-(3!+2*3!+3!+2*3!-2*2!-2!-2!-2*2!-(2!+2*2!)-2*2!+2+1+1+(2+1)-1)=24-(6+12+6+12-4-2-2-4-6-4+2+1+1+3-1)=418. 设集合的基数为, 求的值.2n19. 设集合的一个分划是, 试写集合上对应于以上分划的等价关系.Ia20. 设是正整数, 在上规定关系为: , 证明是上的一个等价关系. xRyxy(modn)n|x-y|1、 自反:
12、n|x-x|xRx2、 传递: xRyx-y=kn,yRzy-z=ln ,x-z=kn+y+ln-y=(k+l)nn|x-z|xRz3、 对称: xRyx-y=kn, y-x=-knn|y-x|yRx因此R是上的一个等价关系21. 证明代数系统与同构, 其中和分别是普通的数的加法和乘法.设映射f:R-R+为f(x)=10x对于任何yR+ 存在x=lgy使f(x)=y,因此f是R-R+的满射; 任意x, yR, 如果10x=10y,则x=y, 因此f是R-R+的单射, 因此f是R-R+的双射, 又由于f(x+y)=10(x+y)=10x*10y=f( x) *f(y),因此f是R到R+的同构映射
13、, 即RR+22. 设, 试写出的对称群和交代群.对称群: (1),(23),(24),(12),(34),(13),(14),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(1234),(1342),(1243),(1324),(1432),(1423),(12)(34),(13)(24),(14)(23)交代群: (1),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(12)(34),(13)(24),(14)(23)23. 试把置换表成不相交循环的乘积, 并表示成对换的乘积.(1,10,3
14、,7,9,6,8,2)(4,5)=(1,2)(1,8)(1,6)(1,9)(1,7)(1,3)(1,10)(4,5)24. 试证明和均为循环群, 并分别求出其一个生成元.整数加群的e为0, a(-1)=-a , an=naa=1 时 1n=n nZ 因此整数加群是无限循环群 其中一个生成元是1a=-1 时 an=-n nZ 因此-1是其另一个生成元模n加群元素为0,1,2,n-1ak=(ka)mod(n) a=1时 1k=(k)mod(n) 10=0,11=1,12=2,1(n-1)=n-1 kZn 1kZn因此模n加群是循环群 1是她的一个生成元 25. 证明是域的充分必要条件是为素数.反证法: 若n=ab a,b( Zn, +,.) a1 b1 则a是左零因子, b是右零因子这与Zn是域, 故没有零因子矛盾; 证有任意a( Zn, +,.) 逆元n是素数 1an (a,n)=1存在u, v使得 au+nv=1 在Zn中 nv=0即au=1 a的逆元存在为u26. 试构造一个4阶的域, 并
