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1、1.2 三角形的角平分线和中线【要点预习】1.三角形的角平分线的概念:在三角形中,一个内角的 与它的对边 ,这个角的 与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.2.三角形的中线的概念:在三角形中,连结一个顶点与它对边 的线段,叫做这个三角形的中线.【课前热身】1. 如果三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形的最大的角是_.答案:902. 如图,AD是ABC的角平分线,若BAC=68,则1= 度.答案:343. 如图,AD是ABC的中线,若BD=2,则BC= .答案:44. 如图,AD是ABC的中线,若SABC=8,则SABD= .答案:4【讲练互动】【例1】如图,在ABC中,C90,AD
2、平分BAC,且B3BAD,求ADC的度数.解:AD平分BAC,CAD=BAD.设CAD=BAD=x,B=3BAD,B=3x.CAB+B+C=180,C=90,2x+3x+90=180.解得x=18. CAD=18.CAD+C+ADC=180,ADC=72.【变式训练】1.如图, 在ABC中,C90,AD是ABC的角平分线, CAB=2B.试求ADB的度数.解:CAB+B+C=180,C=90,CAB+B=90.又CAB=2B,CAB=60.AD是ABC的角平分线,CAD=30.ADB=CAD+C=30+90=120.【例2】如图,AD是ABC的边BC上的中线,AB=BC,且AD把ABC的周长分
3、成3和4的两部分,求AC边的长.分析:本题分两种情况,可能AB+BD=3,AC+CD=4,也可能AB+BD=4,AC+CD=3.解:AD是ABC的边BC上的中线,可设BD=CD=x.AB=BC,AB=BC=2x.当AB+BD=3,AC+CD=4时,由AB+BD=3,得2x+x=3,x=1.CD=1,AC=4-CD=3.当AB+BD=4,AC+CD=3时,由AB+BD=4,得2x+x=4,x=.CD=,AC=3-CD=.【变式训练】2. 如例2图,AD是ABC的边BC上的中线,若ABD的周长比ACD的周长大5,求AB与AC的差. 解:AD是ABC中BC边上的中线,BD=DC.ABD的周长=AB+
4、AD+BD,ADC的周长=AC+AD+DC,ABAC=ABD的周长ADC的周长=5.【同步测控】基础自测1.三角形的角平分线是( )A.射线 B.线段 C.直线 D.以上都不对答案:B2.下列说法正确的是( )A.经过三角形一边的中点的直线是三角形的中线B.连接三角形两边中点的线段是三角形的中线C.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的面积一定相等D.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的周长一定相等答案:C3.如图,在ABC中,BE,CF分别是ABC和ACB的平分线,若ABC=66, ACB=58,则FDB的度数为( )A.56 B.62 C.70 D.86答案:B4.已知BD是ABC的
5、中线,AB=4,AC=3,BD=5,则ABD的周长为( )A.12 B.10.5 C.10 D.8.5答案:B5. 如图,D、E是边AC的三等分点,BD是三角形_中_边的中线,BE是三角形_中_边上的中线.答案:ABE AE BCD CD6.已知AE是ABC的角平分线,若B=45,C=60,则AEB= .答案:97.57.(2008沈阳中考)已知中,的平分线交于点,则的度数为 答案:1208.画出如图所示的三角形中的BC边上的中线与BC所对的角的角平分线.解:如图,AE是BC边上的中线.Ad是所求的角平分线. 9.如图,CE,CF分别是ABC的内角平分线与外角平分线,求ECF的度数.解:CE,
6、CF分别是ABC的内角平分线与外角平分线,ACE=ACB,ACF=ACD.又ACB+ACD=180,ACE+ACF=90.10.如图,在ABC中,AB=AC=6,BC=5,BD是AC边上的中线.试确定ABD与BCD的周长的差.解:BD是AC边上的中线,AC=6,AD=DC=3.ABD的周长BCD的周长=(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=6-5=1.能力提升11. 如图,在ABC中,A=52,ABC与ACB 的角平分线交于点D1,ABD1与ACD1的角平分线 交于点D2,依次类推,ABD4与ACD4的角平分线交于点D5,则BD5C的度数是( )A.60 B.56 C.94
7、D.68解析:由A=52知ABC+ACB=128,D1BC+D1CB=(1-) 128=64,D2BC+D2CB=1-()2128=96,依次类推,D5BC+D5CB=1-()5128 =124,故BD5C=56.答案:B12. 在ABC中,已知M是AB的中点, MBC的周长为20,则AMC的周长为 .解析:由已知得MA=MB,则|MBC的周长AMC的周长|=|(MB+BC+MC)(MA+AC+ MC)|=|BC-AC|,故|AMC的周长20|8,于是AMC的周长为28或12.答案:28或1213.如图所示,在ABC中,B的平分线交ACE的平分线于点D,点B,C,E在同一条直线上,若D=40,
8、则A= 度.解析:由三角形外角的性质知DCE-DBC=D=40,而ACE= 2DCE,ABC=2DBC,故A=ACE-ABC=2(DCE-DBC) =80.答案:8014.如图,一张三角形纸片ABC,BD是它的一条角平分线.现将纸片沿BD折叠,点C落在AB边上的E处.已知ABC=40,C=80,请找出图中与ADE相等的角,并说明理由.解:BD是角平分线,ABC=40,DBC=DBE=20.又C=80,BDC=80.BDE=BDC=80,ADE=20.ADE=DBC=DBE.15. 如图, ABC中,两条内角平分线与两条外角平分线分别相交于点D和点E,若D比E的2倍还大30,求A的度数.分析:将
9、D和E都用A表示即可.解:BD,CD是角平分线,DBC=ABC,DCB=ACB.DBC+DCB=(ABC+ACB)=(180-A)=90-A.D=180-(DBC+DCB)=90+A.类似地,E=180-(EBC+ECB)=180-(ABC的外角+ACB的外角)180-(180-ABC+180-ACB)= (ABC+ACB)=(180-A)=90-A.D=2E+30,90+A=2(90-A)+30,解得A=80.创新应用16.如图,ABC中,DC,BD分别是ACB和ABC的平分线,且A=(1)用含的代数表示CDB;EEF(2)若把图中ACB的平分线DC改为ACB的外角的平分线(如图),怎样用含
10、的代数式表示CDB?(3)若把图中“DC,DB分别是ACB和ABC的平分线”改成“DC,BD分别是ACB和ABC的外角的平分线”,(如图),怎样用含的代数式表示CDB?解:(1)DC,BD分别是ACB和ABC的平分线,DBC=ABC,DCB=ACB,DBC+DCB=(ABC+ACB)=(180-A)=90-.BDC=180-(DBC+DCB)= 90+.(2) DC,BD分别是ACB的外角和ABC的平分线,DBC=ABC,DCE=ACE,CDB=DCE-DBC=(ACE-ABC)=A=.(3)DC,BD分别是ACB和ABC的外角的平分线,DBC=EBC,DCB=FCB,DBC+DCB=(EBC+FCB)=(180-ABC+180-ACB)=180-(ABC+ACB)=180-(180-A)= 90+.CDB=180-(DBC+DCB)= 90-.- 1 -