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1、第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示 1 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生；（3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生；（5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。 分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件有一个发生，即可表示成；类似地其余事件可分别表为（2）或；（3）；（4）或；（5）；（6）或。 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。2如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系： 解：
2、（1）包含关系： 、 。（2）互不相容关系：与（也互逆）、与、与。3写出下列随机事件的样本空间：（1） 将一枚硬币掷三次，观察出现（正面）和（反面）的情况；（2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数； （3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。解：（1）；（2）； （3）；（4）。4设对于事件有, ，求至少出现一个的概率。 提示：至少出现一个的概率即为求，可应用性质4及性质5得 5设、为随机事件，求。 提示：欲求，由概率性质3可先计算。 解：由于，且，从而 即 由概率性质3得。6已知事件、满足且，求。 解法一：由性质
3、（5）知 = （性质5） = （性质3） = （对偶原理）= （已知条件） 解法二：由于 = =从而得，即 7一个袋中有5个红球2个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。解：设表示：“第一次和第二次都取到红球”； 表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“。 （1）由于()=，且()=，故 （2）由于()=，且()=，故 8一批产品有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；（3）第二次取到次品的
4、概率；（4）恰有一次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是次品”（=1，2），则所求概率依次化为、。由于无放回地从10个产品中任取两次，每次取一个，第一次有10个可取，第二次有9个可取，因此(。（1）由于(87，所以 （2）(82，所以 或直接用乘法公式 （3）由于(21，(82，且，所以 。或直接用乘法公式 （4）由于互不相容， 。 9设有80件产品，其中有3件次品，从中任取5件检查。求所取5件中至少有3件为正品的概率。解：设：“所取5件中至少有3件为正品”；则的对立事件为至多有2件为正品，即：“恰有2件为正品”（最多有3件次品）。因此 或： 。 10从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋
5、子至少有2只配成一双的概率。 分析：直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质3，即先求逆事件的概率。该题的解法较多，现分述如下： 解：设事件表示：“取出的4只鞋子至少有2只配成一双”，则事件表示：取出的4只鞋任意两只均不能配成一双”。方法一若取鞋子是一只一只地取（不放回），则共有取法10987种，而取出的4只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有10864种，所以 方法二、从5双不同的鞋子中任取4只，共有=210种取法。取出的4只鞋任意两只均不能配成一双共有=80种取法（先从5双中任取4双共种取法，然后从每双鞋子中任
6、取一只，每双鞋子有2种取法，故共有种取法）。所以 方法三、为了使取出的4只鞋子任意两只均不能配成一双，故可考虑4只鞋子中取左脚（只，右脚只（这只右脚只能从剩余的双鞋子中任取）其共有种取法，故 方法四、（直接法）设事件表示：“取出的4只鞋子恰有双配对”（=1，2），则，且。包含基本事件数为从5双鞋子中任取一双，同时在另外4双鞋子中任取不能配对的两只的不同取法共有种（）；包含基本事件数为从5双鞋子中任取2双，不同取法共有种。故 11假设每个人的生日在一年365天都是等可能的，那么随机选取个人，求他们的生日各不相同的概率及这个人至少有两个人生日在同一天的概率；若，求上述两个事件的概率。 分析：此问题
7、属于占位问题。 解：设表示事件：“个人的生日各不相同”；表示事件：“这个人至少有两个人生日在同一天”。由于每个人的生日在一年365天都是等可能的，所以()=，()，从而。 由于事件是事件的对立事件，所以 若取，则 12某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件=两人能会面的概率。 解：设分别表示两人到达预定地点 的时刻，那么两人到达时间的可能结果 60 对应边长为60的正方形里所有点（见图1-1）， 这个正方形就是样本空间，而两人能会面 的充要条件是，即且 ，所以，事件对
8、应图中阴影 图1-1部分里的所有点。因此，所求概率为 13设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为3/10，第二次落下时被打破的概率为1/2，第三次落下时被打破的概率为9/10，试求透镜落下三次未打破的概率。 分析：解决此问题的关键在于正确理解题意，弄清概率1/2、9/10的具体含义。依题意“第二次落下时被打破的概率为1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下，第二次落下时被打破的概率；概率9/10的含义类似。 解：设表示“第次落下时未被打破”，表示“落下三次未被打破”，则， 14由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（记作事件）的概率为7/15，
9、刮风又下雨（记作事件）的概率为1/10。求， ，。 解： .15设、为随机事件，若，求：（1）；（2） 。 分析：该题主要是考查条件概率公式、乘法公式及概率性质的应用。解：（1）； （2）。 16一机床有1/3的时间加工零件，其余时间加工零件，加工零件时，停机的概率是3/10，加工零件时，停机的概率是4/10，求这台机床停机的概率。分析：依题意，这是一全概率问题。解：设事件表示：“加工零件”；事件表示：“加工零件；事件表示：“机床停机”。 则由全概率公式得 17有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。 分
10、析：依题意，这是一全概率问题，因为从乙袋中取出一球是白球有两个前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有两种可能（由甲袋任取出的球可能是白球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。 解：设表示：“由甲袋取出的球是白球”；表示：“由甲袋取出的球是黑球”；表示：“从乙袋取出的球是白球”。则由全概率公式得 18设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中是第一家工厂生产的，其余两家各生产，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一只，求： （1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是
11、第三家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。则，且。（1）又由于两两互不相容，由全概率公式得 （2）由条件概率定义、乘法公式、全概率公式得 =。 19某专门化医院平均接待K型病患者50%，L型病患者30%，M型病患者20%，而治愈率分别为7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，问此患者是K型病的概率是多少？ 分析：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问题，解决问题的关键是找出一组两两互斥事件。 解：设事件表示：“一患者已治愈”；事件（）表示：“患者是K、L 、M型病的”。则，且，两两互斥，由全概率公式得 = 20三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/3、1/4，求此密码被译出的概率。 解：设事件表示：“此密码被译出”；事件表示：“第个人破译出密码”（），则。 方法一、 方法二、由相互独立知，也相互独立，所以 。21若，证明事件相互独立。 证明：由于，且，所以 从而有 故由定义1-4知，事件相互独立。22一个系统由三个元件按图所示方式连接而成，设每个元件能正常工作的概率（即元件的可靠性）均为 A；求系统的可靠性。（设三个元件能否正常工作是 C相互独立的）。 B分析：
