第二章 机动分析

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1、第二章 平面体系的机动分析学习目的和要求目的要求：明确机动分析的目的，领会几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片 约束、自由度等概念。掌握几何不变体系的简单组成规则，能灵活运用三个规则 对平面体系进行机动分析。重点：几何不变体系的简单组成规则难点： 如何正确应用几何不变体系的简单组成规则对平面体系进行机动分析，二元体的概念。学习内容几何不变体系、几何可变体系和瞬变体系的概念；自由度、刚片、联系的概念；无 多联系的几何不变体系的组成规则；体系几何组成分析举例；结构的几何组成与静 定性的关系。2-1 引 言 杆系结构是由若干杆件互相联结所组成的体系,并与地基相联用来承受荷载。在不考虑 材料应变

2、的情况下，应保持几何形状和位置均不改变。1几何不变体系 体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下，若能保持原有的几何形状和位 置，这样的体系称为几何不变体系。如图2-l(a)所示的三角形体系，在任意荷载F的作用下， 都能维持几何形状及位置不变。2几何可变体系还有另外一类体系，如图2-1(b)所示，即使受到很小的外力F,也能引起其形状的改变, 这类体系称为几何可变体系。显然几何可变体系是不能作为工程结构使用的。rj-u*aaa(b)图 2-13机动分析对体系几何组成进行的分析称为机动分析。4机动分析的目的（1）判定某一体系是否几何不变，从而决定能否作为工程结构。（2）研究几何不变体系的组

3、成规律，以保证设计的结构能承受任意荷载而维持平衡。（3）区分静定结构及超静定结构，以便确定相应的计算方法进行结构的内力计算。 本章仅讨论平面体系的机动分析。2-2 平面体系的计算自由度1平面体系的自由度 为了便于对体系进行机动分析，首先要了解几何可变体系的运动方式，即要讨论平面体 系自由度的概念。所谓平面体系的自由度，是指体系运动时用来确定其位置所需的独立几何 参数的数目。（1）一个自由点 平面内一个自由点有两个自由度（图 2-2a）。（2）一个自由刚片 平面内一个自由刚片有三个自由度（图 2-2b）。2联系限制体系运动的装置称为联系（也叫约束）。联系能减少体系运动的自由度，凡能减少一 i-.

4、ii*- i-.iil LLir r- LLir 1个自由度的装置称为一个联系。常见的联系有：（1） 链杆 一根链杆相当于一个联系（图2-3a）。（2）单铰 联结两个刚片的较称为单较（图2-3b）。一个单较相当于两个联系，因而也相当于两根链杆的作用。换句话讲，两根链杆也相当于一个单铰的作用。B图 2-3A(3) 复铰 联结两个以上刚片的较称为复较(图2-3c)。联结三个刚片的复较具有四个 联系作用，它相当于两个单较的联系。推广可知，联结n个刚片的复较，相当于(n-1)个单较 的作用，可减少2(n-1)个自由度。3平面体系的计算自由度(1)一般体系 平面体系通常是由若干个刚片彼此用铰相联并用支座

5、链杆与基础箱联而组成的。设其刚 片数为m,单较数为h,支座链杆数为r,则体系的自由度为W = 3m-(2h+r) (2-1)实际上每一个联系不一定都能减少一个自由度，W不一定能反映体系真实的自由度。为 此，把W称为体系的计算自由度。例如图2-4所示体系，W= 3m-(2h+r)=3X8- (2X10+4) =0。又如图2-5所示体系，W=3 X 9 (2 X12+3) =0。( 2)铰结链杆体系完全由两端较结的杆件所组成的体系，称为较结链杆体系。体系的自由度除能用式(2-1) 计算外，还可用下面简便公式来计算。设j表示结点数，b表示杆件数，r表示支座链杆数,则体系的自由度为图 2-4(2-2)

6、W=2j-(b+r)例如图2-5所示体系，W=2X6-(9+3)=0。与上面结果相同。( 3)计算自由度与几何组成的关系任何平面体系的计算自由度，有以下三种情况：1) W0，表明体系缺少足够的联系，是几何可变的。2) W=0，表明体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。3) W0，表明体系具有多余联系。因此，WW0仅是几何不变体系的必要条件，并不是充分条件。仅考虑体系本身，几何不变体系的必要条件是WW3。当一个体系的计算自由度Wo （或WW3）时，为了判定体系是否几何不变，还须进一 步进行几何组成分析。2-3 几何不变体系的简单组成规则为了确定平面体系是否几何不变，须研究几何不变体系的组成规

7、则。本节介绍几个简单 组成规则。1三刚片规则 三个刚片用不在一直线上的三个铰两两相联，组成的体系是几何不变的 图2-7所示体系，刚片I、II、III用不在一直线上的三个铰A、B、C两两相联，形成的 三角形是几何不变的。图 2-7IA(b)12又如图 2-8 所示的三铰拱，组成的体系亦是几何不变的。2二元体规则 在几何不变体系上增加（或拆除）二元体，得到的体系仍是几何不变体系。之所2用两根不在一直线上的链杆联结一个新的结点的装置称为二元体，如图2-9所示。将其加在一个刚片上，形成的三角形体系是几何不变的。二元体规则是三刚片规则的推广IIIIIo2以当作一个规则提出，是为了在铰结体系的几何组成(a

8、)b）1IIo图 2-9图 2-11分析中应用方便。如可用二元体规则分析图 2-10 所示的桁架。3两刚片规则 两个刚片用不全交于一点也不完全平行的三根链杆相联，所组成的体系 是几何不变的。图2-11所示刚片1、11仅用两根链杆1、2相联，若固定刚片I,则刚片II可绕1、2两 杆延长线形成的虚交点O发生相对转动。转动后两链杆又形成新的交点，故交点O称为此瞬11时的相对转动中心，简称为瞬心。交点O的作用与一个单铰的作用相同，但与前述的单铰（位 1置固定不变）又有所不同，故称为虚铰。若再加上不通过虚铰O的链杆3后，此时链杆3可与 . 1原有链杆中的任一根又可形成另外的虚铰，如虚铰O，如图2-12所

9、示。此时若刚片II相对于2刚片I运动，则也应绕虚铰O发生相对转动,2以刚片1、11组成的体系是几何不变的。a)(a)IIII2o1o1图 2-121|*1* F2/ 31 FII11o由于两个链杆的作用相当于一个单铰3AII但一个刚片不可能同时绕两个虚铰作转动，所两个刚片用一个铰和不通过该铰的一根链杆相联，组成的体系是几何不变的。如图2-13所示 体系是几何不变的。按简单组成规则组成的几何不变体系，其均为W=0 （或W=3）,因而都是没有多余联系的。2-4变体系值得指出，在上述规则中，都提出了一些限制条件，如联结两刚片的三根链杆不能全交 于一点也不能全平行；联结三刚片的三个铰不能在同一直线上等

10、。下面讨论如果出现上述情 况时，结果又会怎样。首先看三个刚片用位于一直线上的三个铰两两相联的情形（图 2-15）。 此时 C 点位于以 AC、BC为半径的两个圆弧的公切线上，故在该瞬时C点可沿公切线作微小的移动，移动发生 后三铰不再在一直线上，运动也不再发生。这种在某一瞬时可以产生微小运动的体系称为瞬 变体系。尽管瞬变体系只是在某一瞬时产生微小的相对运动，随后变为几何不变体系，但由图 2-16III(a)(b)申C5P图 2-16图 2-15所示瞬变体系的受力分析可知，在外力F作用下，C点移动至C点，由结点C的平衡条件Fy=O，可得FN=F/2sinp由于(p是一无穷小量，所以FN。可见，杆A

11、C和BC将产生很大的内力和变形。故瞬变 体系或接近于瞬变的体系在工程中是绝对不能采用的。现在再看图2-17(a)所示两刚片用三根相互平行且等长的链杆相联，两刚片发生相对运动 后，三根链杆仍相互平行，故运动将继续发生，直到体系倒塌，这样的体系称为常变体系。图 2-17又如图2-17(b)所示体系，两个刚片用三根平行但不等长的链杆相联，此时两刚片可以 沿与链杆垂直的方向发生相对移动，但在发生微小移动后，三根链杆不再相互平行，从而不 再发生相对运动。该体系是一个瞬变体系。再如图2-17(c)所示两刚片，用三根延长线相交于一点的链杆相联，此时两刚片将以交 点 O 作相对转动，但发生微小运动后，三链杆不

12、再交于同一点，因此该体系也是一个瞬变体 系。2-5 机动分析示例1. 机动分析的步骤几何组成分析的依据是前述三个简单组成规则。分析时，宜先把能直接观察出的几何不 变部分作为刚片，再以此刚片为基础依次分析其余各部分，判定是否几何不变。或拆除二元 体，使体系的几何组成简化，再分析剩余的部分，根据简单组成规则作出结论，则原体系的 几何组成也就确定了。2. 示例例 2-1 对图 2-18 所示体系进行几何组成分析。解：把地基看作刚片I,AB部分为刚片II,则1、11之间由三根不平行也不交于一点的链杆相联，符 合两片规则，为几何不变部分，将该部分看成扩大的刚片III。BC部分为刚片W,则III、W两刚片

13、之间又图 用铰B和不通过B点的链杆2相联，符合两刚片规则，同理为几何不变部分，看作更扩大的刚片VCD为 刚片则刚片V、W之间符合两刚片规则，则大刚片扩大到CD梁，同理，DE梁可作同样分析。故知整个体系是几何不变的，且无多余联系。例 2-2 对图 2-19 所示体系进行几何组成分析。图 2-19 图 2-20解：体系与地基用三根不完全平行也不完全交与一点的链杆相连联，只需分析体系本身即可。首先从左右两边按结点1、2、3、的顺序依次拆除二元体，当拆到结点6时，发现两杆在一直线上，故知原 体系是瞬变的。例2-3 对图 2-20 所示体系进行几何组成分析。解：将ADCF、ECGB和地基分别看作刚片1、

14、11和III。刚片I和II用铰C相联，刚片II和III用虚铰O 相联（链杆1、2延长线的交点），刚片I和III用虚铰V相联（链杆3、4延长线的交点），三铰不在一直线上， 符合三刚片规则，故该体系是几何不变的，且无多余联系。例2-4 对图 2-21 所示体系进行几何组成分析。解： 杆 AB 和地基之间用三根不完全平行也不交于一点的链杆相联，符合两刚片规则，组成几何不变 的部分。在此基础上再增加二元体A-C-E和B-D-F，体系仍为几何不变，后又增加一链杆CD。故知该体系是具有一个多余联系的几何不变体系。o图 2-21图 2-22例 2-5 对图 2-22 所示体系进行几何组成分析。解：将地基看成

15、刚片I （固定铰支座A和B看作刚片I的一部分）,DEC部分为刚片II。折线杆AD和BE 由于进行几何组成分析时不考虑杆件弹性变形，故折线杆两铰间距离不改变，所以可以用虚线所示的两 链杆2和3来代替。则刚片1、11之间用三链杆1、2、3相联，但三链杆延长线全交于同一点0,不符合 两刚片规则。故知该体系是瞬变体系。例2-6 对图 2-23 所示体系进行几何组成分析。解：计算自由度：j=6, b=8, r=4。则,W=2j-（b+r）=2X6-（8+4）=0。分析：（注意：与基础4 个链杆相联，用三刚片规则）左边两链杆支座，视为增加在基础上的二元体 与基础同属于刚片3所有杆件中，那个视为刚片呢？ 找:地基视为刚片III,冈U片III上引出的杆件：AB、AD、 CH、FG这4杆视为联系，其