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1、3、下列说法不正确的是( B )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测二. 填空题(3分5=15分)1、2、设是上有理点全体,则=,=,=.3、设是中点集,如果对任一点集都有,则称是可测的4、可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使成一有界数集,则称为 上的有界变差函数。1、设,若E是稠密集,则是无处稠密集。错误2、若,则一定是可数集.错误例如:设是集,则,但c , 故其为不可数集3、若是可测函数,则必是可测函数。错误二、2. 下列说法不正确的是(C )(A) 的
2、任一领域内都有中无穷多个点,则是的聚点 (B) 的任一领域内至少有一个中异于的点,则是的聚点 (C) 存在中点列,使,则是的聚点 (D) 内点必是聚点3. 下列断言(B )是正确的。(A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对;4. 下列断言中( C )是错误的。(A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集;(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 1、设,则_。2、设为Cantor集,则 ,_,=_。3、设是一列可测集,则4、鲁津定理:_5、设为上的有限函数,如果_则称为上的绝对连续函数。答案:
3、 2,c ;0 ; 3, 4,设是上有限的可测函数,则对任意,存在闭子集,使得在上是连续函数,且。5,对任意,使对中互不相交的任意有限个开区间只要,就有1、由于,故不存在使之间对应的映射。错误2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确3、收敛的函数列必依测度收敛。错误4、连续函数一定是有界变差函数。错误2.(6分) 设使,则E是可测集。证明:对任何正整数,由条件存在开集使 令,则是可测集,又因对一切正整数成立,因而,即是一零测度集,所以也可测. 由知,可测。4.(8分)设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于,证明:收敛于。证明:因为在上“基本上”一致收敛于,所以对于任意的,存在可测集,在上一
4、致收敛于,且 令,则在上处处收敛到,k=1,2所以1、设集合,则2、设为Cantor集,则 ,0,=。3、设是中点集,如果对任一点集都有,则称是可测的4、叶果洛夫定理:设是上一列收敛于一个有限的函数 的可测函数,则对任意存在子集,使在上一致收敛且。5、设在上可测,则在上可积的充要条件是|在上可积. 1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例:设Gn=( ),n=1,2,L, 每个Gn为开集 但 不是开集.2、若,则一定是可数集。不成立;设是集,则, 但c , 故其为不可数集。3、收敛的函数列必依测度收敛。不成立4、连续函数一定是有界变差函数。不成立1、(6分)试证证明:记中有理数全体,令显然所
5、以 2、设是上的实值连续函数则对任意常数 c, 是一开集.证明: 因f(x)连续,故. 即.所以是E的内点.由的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集.1、设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。证明: ;3、(6分)设是可测集的非负可积函数,是的可测函数,且,则也是上的可积函数。证明:, 是可测集的非负可积函数 是上的可积函数. 同理,也是上的可积函数.是上的可积函数。1设P为Cantor集,则 (C) (A) 0 (B) (C) (D) 5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的是( D )(A)在上可积 (B)在上可积(C)在上可积 (D)在上绝对连续2、设,若则是闭集若,则是开集;若则是完备集.5、设为上的有限函数,如果对于的一切划分,使成一有界数集,则称为上的有界变差函数。1、A为可数集,B为至多可数集,则AB是可数集;成立2、若,则;不成立;为中的全体有理点集,则有,而3、若是可测函数,则必是可测函数;不成立. 设是上的不可测集,则是上的可测函数,但不是上的4设在可测集上可积分,若,则;不成立. 见下页 (第3页,共4页)