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1、摘 要在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解读表达式。即使在某些情况下，可以写出 函数的解读表达式，但由于解读表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老 的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法 的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的 理论及二者的比较。关键词拉格朗日插值 牛顿插值插值多项式 比较一、 背景在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实 际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f (x
2、)在区间a,b上存在且连续，但却难以找到它 的解读表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值(即一张函数表)。显 然，要利用这张函数表来分析函数f (x)的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可 能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表(或结构复杂的解读表达 式)，构造某个简单函数P(x)作为f (x)的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类 问题目前常用的方法。如设函数y = f (x)在区间a,b上连续，且在n +1个不同的点a x ,x ,x b上分 01 n别取值y ,y ,，y。01 n插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数P(x)，
3、使P(x )二 y (i 二 0,1,n)ii而在其他点x主x上，作为f (x)的近似。i通常，称区间a,b为插值区间，称点x ,x，,x为插值节点，称式P(x ) = y为插值01 ni i条件，称函数类为插值函数类，称P(x)为函数f (x)在节点x ,x，,x处的插值函数。01 n求插值函数P(x)的方法称为插值法。插值函数类的取法不同，所求得的插值函数P(x)逼近f (x)的效果就不同。它的选 择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数 多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值 法与牛顿插值法就是这类插值问题。在多项
4、式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n的代数多项式P(x) = a + a x + F a xn01n使 P (x )二 y (i 二 0,1,n)，其中,a ,a，a 为实数。n i i01 n拉格朗日插值法即是寻求函数 L (x) (拉格朗日插值多项式)近似的代替函数 f (x)。n相似的，牛顿插值法则是通过N (x)(牛顿插值多项式)近似的求得函数的值。n二、 理论基础(一)拉格朗日插值法在求满足插值条件n次插值多项式P (x)之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点nx (i二0,1,n)中任一点x (0 k n)，作一 n次多项式l (x)，使它在该点上取值为1, ikk而
5、在其余点x (i二0,1,k-1,k +1,.,n)上取值为零，即i1 i 二 kk /|0 i 丰 k上式表明n个点x ,x，,x ,x ，,x都是n次多项式l (x)的零点，故可设0 1k -1 k+1nkl (x)二 A (x - x )(x - x ) ( x - x )(x - x )(x - x ) 1 kk 01k -1k +1n其中，A为待定系数。由条件l (x )二1立即可得kk k1(x - x )(x - x )(x - x )(x - x ) k 0 kk-1kk+1k n1 /、(x - x )(x - x )(x - x)(x - x )l (x) =0k-1k+1
6、nk(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )k0kk -1kk +1kn由上式可以写出n +1个n次插值多项式l (x),l (x),.,l (x)。我们称它们为在n +1个01n节点x ,x，-,x上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。01n利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n次插值多项式y l (x) + y l (x) + + y l (x)0011nn1 i = k根据条件l (x )-，容易验证上面多项式在节点x处的值为i |0 i 鼻 kiy (i二0,1,n)，因此，它就是待求的n次插值多项式P (x)。 in形如 y l (x) + y l (x
7、) + + y l (x) 的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为 0011nnL ( x) ，即nL (x) = y l (x) + y l (x) + + y l (x)n 1 1 2 2 n n(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )=0k-1k+1n(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )k0kk -1kk +1kn作为常用的特例，令n二1，由上式即得两点插值公式L (x) = y + yi _ yo (x- x )，这是一个线性函数，故又名线性插值。1 0 x - x 010若令n二1，则又可得到常用的三点插值公式(x-x )(x-x
8、 )(x-x )(x-x )(x-x )(x-x )L (x) = yi2+ yo2+ y0丄一2 0 (x - x )(x - x )1 (x - x )(x - x )2 (x - x )(x - x )0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。(二)牛顿插值法由线性代数知，任何一个不高于n次多项式，都可以表示成函数1,x-x ,(x-x )(x-x )，,(x-x )(x-x )(x-x )的线性组合。既可以吧满足插值条件00101n -1P(x ) = y (i = 0,1,n)的n次插值多项式写成如下形式iia + a (x-x )
9、+ a (x-x )(x-x ) + + a (x-x )(x-x )(x-x )010201n 01n -1其中，a为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为N (x)，即knN (x) = a + a (x - x ) + a (x - x )(x - x ) + a (x - x )(x - x )(x - x ) 1n010201n 01n -1因此，牛顿插值多项式N (x)是插值多项式P (x)的另一种表示形式。 nn设函数f (x)在等距节点x = x + kh (k = 0,1, ,n)处的函数值f (x ) = y为已知，其中 k 0kkh是正常数，称步长。我们称
10、两个相邻点x和x处函数之差y - y为函数f (x)在点xkk +1k +1kk处以h为步长的一阶向前差分，记作Ay，即Ay = y - ykkk +1k于是，函数f (x)在各节点处的一阶差分依次为Ay = y - y ,Ay = y - y ,Ay = y - y010121n -1nn -1又称一阶差分的差分A2y =A(Ay ) = Ay -Ay为二阶差分。一般的，定义函数f (x)在 kkk +1k点x处的m阶差分为Amy = Am-1 y - Am-1 y。kkk +1k在等距节点x = x + kh (k = 0,1, , n)情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。 k0
11、事实上，由插值条件N (x ) = y可得a = y ；再由插值条件N (x ) = y可得 n 0000n 11a = 一h =0 ; 般的，由插值条件 N (x ) = y 可得a =0 (k = 1,2, ,n)。1 x - x hn k kk k!h k10于是，满足插值条件N (x )二y的插值多项式为n i iAyA2 yAnyN (x) = y + o(x-x ) +o(x-x )(x-x )HFo(x-x )(x-x )(x-x)n0 h02!h 201n!hn01n-1三、二者的比较拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法插值法则更为简便，与拉格朗日插值
12、多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”(见下面例题)的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。现用一实例比较拉格朗日插值法与牛顿插值法例 已知函数表如下：x0.10.20.30.40.50.6sinx0.099830.198670.295520.389420.479430.56464计算sin(0.12)的值。利用拉格朗日插值法计算过程如下：(计算程序代码见附件) 因为0.12位于0.1与0.2之间，故取节点x二0.1,x二0.201利用线性插值所求的近似值为sin0.12 沁 L
13、(0.12)0.12 - 0.10.2 - 0.10.12 - 0.2=0.09983 x + 0.19867 x0.1 - 0.2沁 0.119598计算结果如下图利用抛物插值所求的近似值为sin0.12 沁 L (0.12)=03983 x(.12一 O2)12 一 3 + 0.19867 x 心一。皿12 一 3) (0.1 - 0.2)(0.1 - 0.3)(0.2 - 0.1)(0.2 - 0.3)+ 0.29552 x(.12 一。恥12 一 2)(0.3-0.1)(0.3-0.2)沁 0.119757计算结果如下图利用牛顿插值法计算过程如下：构造差分表如下：xsinxAyA yA
14、 y0.10.099830.098840.20.19867-0.001990.09685-0.000960.30.29552-0.002950.093900.40.38942利用线性插值所求的近似值为sin(0.12)沁 (0.12)二 0.9983 + 0.2 x 0.09884二 0.11960利用抛物插值所求的近似值为sin(0.12)沁 N (0.12)2=0.9983 + 0.2 x 0.09884 + 0.2 x (0.2 - x (-0.00199)=N (0.12) + 0.000161=0.11976从上面的计算过程可以看出，拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始。而牛顿插值则避免了这一问题，这样大量的节省了乘、除法运算次数，减少了计算的时间。因此，对于一些结构相 当复杂的函数 f (x) ，牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。参考文献1 易大义，沈云宝，李有法编.计算方法.杭州：浙江大学出版社，
