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1、第八章 真空中的静电场 y F21 F31 q4 q1 O F41 x FQ1 Q q3 q2 图 8-18-1 在正方形的四个顶点上放置四个等量正电荷要想在此正方形的中心再放置一个负电荷，使在每个电荷上的合力为零，此负电荷的量值应为多少？分析 本题是应用库仑定律求解电荷受电场力的平衡问题注意到库仑定律表达式是矢量式，求解时，通常可以建立直角坐标系，将各力投影在两正交方向上，得到各分量之间的代数关系式；也可以直接用矢量合成关系得出相同的结果因为正方形四个顶点上的点电荷带电量相等，负电荷Q置于正方形中心，因此电荷分布具有明显的对称性，四顶点上的点电荷受力大小相同，而且两坐标方向分量的方程应具有相
2、同的表达形式解1 设a为正方形边长，取如图8-1所示的Oxy坐标系以表示电荷所受的合力在x方向的分量，表示其它电荷对它的作用力在x方向的分量，根据题意，合力的在x方向分量的代数和为零，有应用库仑定律，可得电荷所受其它电荷对它的力在x方向的分量，代入上式得解2 由图8-1知与电荷所受另三力的合力均在对角线方向上，故在该方向上力的平衡方程为 应用库仑定律，可得上式中各力的量值，则有亦有 8-2 电荷量为等值同号的两个点电荷之间距离为 2l，求其连线的中垂面上电场强度最大处到两电荷连线中点的距离 y E E2 E1 （0, y） q q l O l x图8-2分析 因两电荷等量同号，由于对称性，在连
3、线中垂面上，以连线中点为圆心的圆上各点电场强度大小相等，方向沿径向只需求出电场强度沿径向的分布规律，电场强度最大处应满足极值条件解 以两点电荷连线中点O为原点, 轴沿连线方向，轴为中垂面上任一径向，取如图8-2所示的坐标系E1、E2分别为两点电荷在轴上任意点处产生的电场强度，由于对称性，合场强(0, y)沿y正向，y轴上任意点的合场强为j其中 ，故 电场强度最大处应满足极值条件，令，得解得 因轴为中垂面上任一径向，无须取负值，则极值位置为又由计算可得，故在位置为处E有极大值，即在中垂面（x=0）上场强最大处是以O为中心，半径为的圆8-3 半径为R的一段圆弧，圆心角为，一半均匀带正电，另一半均匀
4、带负电，单位长圆弧上所带电荷量分别为和，求其圆心处的电场强度分析 当电荷沿一细线连续分布时，电荷线密度为，须将带电细线分为足够小的一系列电荷元，每一电荷元都可视为点电荷设r为电荷元dq到空间某点的径矢，则场强叠加原理给出该点场强为沿电荷分布曲线L的矢量积分，通常应取平面直角坐标系，将矢量积分化为两标量积分进行计算在解题时应该注意到，电荷分布的对称性往往会使问题得到简化 + dl + + O x - dE dE dE dl y 图8-3解 以带电圆弧的圆心为原点，取如图8-3的Oxy坐标系，带正电的圆弧上电荷元的角位置为，在圆心处的场强为，与之对称的带负电的圆弧上电荷元角位置为，在圆心处的场强为
5、不难看出，与相抵消，与相等，即电荷元dq在圆心处电场强度的大小为应用场强叠加原理，得8-4 均匀带正电荷圆环，半径为R，电荷线密度为，其上有一长度为的缺口，试求轴线上距环心x处P点的电场强度分析 根据场强叠加原理，完整的圆环在处的电场强度应等于带缺口的圆弧在x处的场强与缺口弧元在该点场强的叠加因例题8-3已经给出了完整的圆环在处的电场强度，而且对于弧元，因，可以视为一个点电荷，所以带缺口圆弧在轴线上处的电场强度应等于完整的圆环在处的场强与视为点电荷的弧元在该点场强的矢量差 y d -E2y E O x E1 x R E2y E2 图84解 取如图8-4所示的O坐标系，轴在圆环轴向，使缺口与圆心
6、连线在O平面内利用例题8-3结果，完整带电圆环在x处的场强沿方向，即其中由点电荷场强表达式，带电量为的点电荷在x处的场强为 ， 带缺口圆弧在轴线上处的电场强度应等于完整的圆环在处的场强与弧元在该点场强的矢量差，即，并得两坐标方向的分量表达式为方向与x轴正向夹角为8-5 一半径为的均匀带电细圆环，一半电荷线密度为，另一半电荷线密度为，求轴线上距环心处的电场强度（假设电荷是不能移动的）. dq y A dE dE dEy O x dEx dEx x dEz zB dq （a） （b）图85分析 根据电荷分布的对称性，在带电细圆环上取任一条直径的两端等量异号电荷元，它们在轴线上距环心处的电场强度沿轴
7、线方向的分量大小相等方向相反，故相互抵消，而垂直于轴线的分量互相加强但是，这些成对的电荷元在处的电场强度垂直于轴线的分量方向却各不相同，均匀分布在一个半圆区域内，与各电荷元在圆环上的位置有关所以，还必须在垂直于轴线的平面内进行矢量叠加，才能求出整个圆环在处的电场强度解 取圆环的轴线为x轴，在圆环上距正负电荷分界点A的张角为处取电荷元，直径的另一端等量异号电荷元为，它们在处的电场强度沿轴线方向的分量和大小相等方向相反，相互抵消，如图8-5（a）所示，而垂直于轴线的分量则互相加强由点电荷场强表达式得在垂直于轴线的平面内，以OA方向为z轴正向，可得的投影如图8-5（b）所示，则有，对带正电荷的半圆环
8、积分的2倍，就是整个圆环在处的电场强度，即得处的电场强度方向为y轴正向8-6均匀带电细棒，棒长l = 20cm，线电荷密度求：（1）棒的延长线上与棒的中点相距L = 18cm处的电场强度；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d = 8cm处的电场强度 y dEQ dE dE Q d dx x dx P dEP O L x 图8-6分析 当电荷沿一细线连续分布时，须将带电细线分为足够小的一系列电荷元，空间某点电场强度为沿电荷分布曲线L的矢量积分当计算细棒延长线上某点的电场强度时，细棒上各电荷元在该点的电场强度方向相同，均沿延长线方向，矢量积分将简化为标量积分，而不论细棒上的电荷分布是否均匀当计算
9、细棒的垂直平分线上某点的电场强度时，由于电荷分布的对称性，均匀带电细棒中点两边对称位置处的电荷元在该点的电场强度沿棒长方向的分量将互相抵消，只需计算垂直于棒长方向的分量由于电荷分布关于中垂线为对称，对中垂线上距原点远的Q点，不仿作出它们在Q点产生的场元，dE，dE,不难看出， Q点电场的积分因此而简化，结果必沿轴正向.解 （1）取Oxy坐标系如图8-6所示，在细棒上坐标x处取宽的电荷元，细棒延长线上的P点与电荷元的距离为，在P点产生的电场强度大小为细棒在P点产生的电场强度大小为方向沿轴正向（2）在细棒上和处取对称的两个电荷元和，它们在Q点产生的电场强度分别为dE和dE， 如图8-6所示它们的方向分量相互抵消，方向分量相互加强，叠加后得到沿方向的合场强dEQ，其大小为细棒在Q点产生的电场强度大小为方向沿y轴正向8-7 有一沿x轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为和，求y轴上距坐标原点为d处的电场强度分析 与上题的方法类似，当计算该带电直线y轴上某点的电场强度时，由于电荷分布的对称性，均匀带电直线原点两边对称位置处的电荷元在该点的电场强度垂直于棒长方向的分量将互相抵消，只需计算沿棒长方向的分量 y dE P dEP dE d dq dq + + + + + + + + + + O 图 8-7
