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1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系第三节空间点、直线、平面之间的位置关系第八章第八章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.1.平面的基本性质及应用2.判断空间直线的位置关系3.异面直线所成的角1.直观想象2.逻辑推理强基础强基础 固本增分固本增分1.平面的基本性质 两点 同一条直线上的三点 有且只有一条 微点拨 三个推论推论1:经过一条直线与这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条
2、相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?提示:“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.2.等角定理 要注意角的两边方向空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.相等或互补 3.空间点、直线、平面之间的位置关系 微点拨 空间中两直线的位置关系 4.异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线aa,bb,把a与b所
3、成的叫做异面直线a与b所成的角.锐角(或直角)常用结论1.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一平面的基本性平面的基本性质及及应用用例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明:(1
4、)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点,所以EFA1B且EF=A1B.又因为A1D1BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1BCD1,所以EFCD1,所以EF与CD1确定一个平面.所以E,F,C,D1都在中,即E,C,D1,F四点共面.(2)由(1)知,EFCD1,且EF=CD1,所以四边形CD1FE是梯形,所以CE与D1F必相交.设交点为P,则PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1,所以P平面ABCD且P平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA三线共点.规律方法 共面、共线
5、、共点问题的证明方法 对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.证明:(1)E,F分别为AB,AD的中点,EFBD.GHBD,EFGH.E,F,G,H四点共面.(2)EGFH=P,PEG,EG平面ABC,P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADC=AC,PAC,P,A,C三点共线.考点二考点二判断空判断空间直直线的位置关系的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平
6、面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)如图,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有.答案:(1)D(2)解析:(1)由于l与直线l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若ll1,ll2,则l1l2,这与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.(2)在中,MGHN且MG=HN,则四边形MGHN是平行四边形,有GHMN,两者不是异面直线
7、;图中,点G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;在中,M,N分别是所在棱的中点,所以GMHN且GMHN,故HG,NM必相交,不是异面直线;图中,点G,M,N共面,但H平面GMN,所以GH与MN异面.所以图中GH与MN异面.规律方法 空间两条直线位置关系的判定方法 对点训练2(1)(2022北京东城三模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,D1C1的中点,则下列直线中与直线BE在同一平面内相交的是()A.直线A1FB.直线AD1C.直线C1D1D.直线AA1(2)(2023福建福州质检)如图,在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴
8、截面ABCD,其中母线AB=2,E是 的中点,F是AB的中点,则()A.AE=CF,AC与EF是共面直线B.AECF,AC与EF是共面直线C.AE=CF,AC与EF是异面直线D.AECF,AC与EF是异面直线答案:(1)A(2)D故直线A1F与直线BE相交.直线AD1与BE为异面直线,直线C1D1与BE为异面直线,直线AA1与BE为异面直线.故选A.(2)AC平面ABC,EF与平面ABC相交,且与AC无交点,AC与EF是异面直线.设过点E的母线与圆柱的下底面交于点G,连接AG,OG(图略),AECF.故选D.考点三考点三异面直异面直线所成的角所成的角例3(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1
9、中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()(2)如图,PA平面ABC,ACB=90,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于()答案:(1)D(2)B解析:(1)如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1BC1,故PBC1为直线PB与AD1所成的角.(2)如图,将此多面体补成一个正方体,ACBD,PB与AC所成的角的大小即为此正方体体对角线PB与棱BD所成角的大小.规律方法 求解异面直线所成角的方法 方法解读平移法通过作图(如结合中位线、平行四边形补形等)来构造平行线,作出异面直线所成的角,通过解三角形来求解补形法补成长方体或正方体转化法当异面直线
10、所成角为 时,可转化为证明垂直对点训练3(1)(2022河南开封核心模拟二)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是正方形ABCD的中心,则直线A1D与直线B1M所成的角为()A.30B.45C.60D.90(2)(2022河南郑州二模)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,M是AA1的中点,则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为()答案:(1)A(2)D解析:(1)如图,设正方体的棱长为2a,连接B1C,MC,MB,则B1CA1D,故CB1M或其补角为直线A1D与直线B1M所成的角.四边形ABC1D1为平行四边形,AD1BC1,直线AD1与BM所成角即为BC1与BM所成角,即C1BM或其补角,不妨设AA1=1,则AB=BC=2,
