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1、第六节空间向量及其运算第六节空间向量及其运算第八章第八章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1.空间向量的线性运算2.共线定理、共面定理的应用3.空间向量数量积及应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强基础强基础 固本增分固本增分1.空间向量的有关概念 名称定义空间向量在空间中,具有和的量,其大小叫做向量的长度或模相等向量方
2、向且模的向量相反向量方向且模的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相或的向量共面向量平行于的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容类比进行学习,将达到事半功倍的效果.微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?提示:正确.根据向量相等的定义,可以把向量进行平移,空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为共面向量.2.空间向量中的有关定理 定理名称语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在R,
3、使a=b 为了使存在且唯一共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任意 三个向量不共面,可构成一组基底a,b,c一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容类比进行学习,将达到事半功倍的效果.3.空间向量的数量积及运算律(1)非零向量a,b的数量积ab=|a|b|cos.变形式:(1)abab=0;(2)|a
4、|2=a2(2)空间向量数量积的运算律:结合律:(a)b=(ab);交换律:ab=ba;分配律:a(b+c)=ab+ac.微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即(ab)c=a(bc)不一定成立.4.空间向量的坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=.a-b=.a=.ab=.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(a1,a2,a3)a1b1+a2b2+a3b3(x2-x1,y2-y1,z2-z1)常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:2.证明空间
5、四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明共面:研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一空空间向量的向量的线性运算性运算答案:(1)A(2)C 规律方法 空间向量线性运算中的三个关键点 答案:D 考点二考点二共共线定理、共面定理的定理、共面定理的应用用例2(1)若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=()A.0B.1C.2D.3判断点M是否在平面ABC内.答案:(1)A 规律方法 证明三点共线和空间四点共面的方法 对点训练2(1)已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)
6、在平面ABC内,则x的值为()A.-4B.1C.10D.11答案:(1)D 考点三考点三空空间向量数量向量数量积及及应用用(多考向探究多考向探究)考向考向1 求求空空间向量的数量向量的数量积A.-1B.0C.1D.不确定答案:B=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.规律方法 空间向量的数量积运算的两条途径 考向考向2 空空间向量数量向量数量积的的应用用例4(1)已知空间向量a,b,c两两夹角均为60,其模均为1,则|a-b+2c|=()(2)空间向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),如果ab,则|b|=.答案:(1)C(2)3(2)向量
7、a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),且ab,ab=0,22-3m+2=0,解得m=2,b=(2,-2,-1),规律方法 空间向量数量积的3个应用 求夹角设向量a,b夹角为,则cos=,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2=aa,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题对点训练4如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=120.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(3)求证:AA1BD.
