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1、第七章第七章第三节合情推理与演绎推理第三节合情推理与演绎推理内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.归纳推理2.类比推理3.演绎推理1.逻辑推理2.数学抽象强基础强基础 固本增分固本增分1.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,先经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推
2、理.类比类型 归纳推理类比推理定义由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,或者由概括出的推理由两类对象具有和其中一类对象的,推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由到、由到的推理由到的推理一般步骤(1)通过个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)部分对象全部对象个别事实一般结论某些类似特征某些已知特征部分整体特殊一般特殊特殊微点拨1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明.
3、2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误.2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由到的推理.根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程一般特殊(2)“三段论”是演绎推理的一般模式:“三段论”的结构大前提已知的;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对做出的判断“三段论”的表示大前提M是P;小前提S是M;结论微点拨应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,尽管推理形式是正确
4、的,但所得结论是错误的.一般原理特殊情况S是P研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一归纳推理推理(多考向探究多考向探究)考向考向1 与与数字或式子有关的数字或式子有关的归纳推理推理例1.(1)找规律填数字是一项很有趣的游戏,特别锻炼观察和思考能力,按照“17”“214”“342”“4168”的规律,可知5()A.490B.62C.720D.840(2)对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+3,23=3+5,32=1+3+5,33=7+9+11,42=1+3+5+7,43=13+15+17+19,根据上述分解规律,若m2=1+3+5+11,n3的分解中最小的正整数是2
5、1,则m+n=()A.8B.11C.12D.20答案:(1)D(2)B解析:(1)观察规律有14=27,42=314,168=442,所以55168=840.(2)m2=1+3+5+11=36,m=6.23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,53=21+23+25+27+29.又n3的分解中最小的正整数是21,n3=53,n=5,m+n=6+5=11.答案:1010可以得到右边是一个分数,分母为2,分子与左边最后一项中自变量的分子相同,考向考向2 与与图形形变化有关的化有关的归纳推理推理例2(2022河南开封三模)在第24届北京冬奥会开幕式上,一朵朵六角雪花飘拂在国家体
6、育场上空,畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程.已知第1个图中的三角形的面积为1,记第n个图形的面积为an,则an+1-an=.解析:记第n个图形为Pn,边数为bn,边长为cn,由图可知,b1=3,b2=4b1=43,b3=4b2=342,bn=4bn-1=34n-1;规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略 常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点,找到规律后可解与图形变
7、化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数之间的关系,列出即可对点训练2(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类,如三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等.如图所示,将所有六边形数按从小到大的顺序排列成数列,前三项为1,6,15,则此数列的第10项为()A.120B.153C.190D.231(2)陕西关中一带流行一种纸牌叫“花花牌”,俗称“花花”,牌面纸质和扑克牌差不多,窄长条形的,宽3.5厘米,长14厘米.牌面中间画上
8、人物或花草图案,两头则有一些黑红两色的椭圆点,像盲文,这些点的多少代表了牌面的大小.由于“花花牌”不含数字,不识字的人也可以玩,故很受百姓欢迎.相传“花花牌”与唐代流行的“骨牌”玩法颇为相似,下图给出了四张“骨牌”,请按此规律(自左向右)推测下一张“骨牌”应该是()答案:(1)C(2)B解析:(1)由题意可知,a1=11=1,a2=23=6,a3=35,故总结an=n(2n-1),由第四个图知,a4=28,满足an=n(2n-1),故a10=10(210-1)=190.(2)由图可知,第一张“骨牌”有1个白点,第二张“骨牌”有2个白点,第三张“骨牌”的白点个数为1+2=3,第四张“骨牌”的白点
9、个数为2+3=5,据此可推测第五张“骨牌”的白点个数为3+5=8.由图可知,从第三张开始,每张“骨牌”上的所有点数为前两张“骨牌”的点数之和,所以,第五张“骨牌”的所有点数为5+7=12.故选B.考点二考点二类比推理比推理例3.(1)“黄金分割”是古希腊的毕达哥拉斯学派在研究数学问题时提出的一个比例关系,即:将一线段分割成大小两段,如果小段与大段的长度之比恰好等于大段与整段的长度之比,那么称这个比值为“黄金分割比.在数学(2)设ABC三边的长分别为a,b,c,ABC的面积为S,其内切圆的半径为r,则r=.类比这个结论可知:三棱锥P-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径
10、为r,三棱锥P-ABC的体积为V,则r=()答案:(1)C(2)C(2)将ABC的边长a,b,c类比三棱锥P-ABC的四个面的面积S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中的系数类比三棱锥体积公式中的系数,从而可知C正确.实际上,把内切球球心与三棱锥四个顶点连接,三棱锥P-ABC被分成以原三棱锥的四个面为底面,内切球球心为顶点的四个棱锥,四个棱锥的高均为内切球半径r,规律方法 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有平面与空间类比,低维的与高维的类比,等差数列与等比数列类比,数的运算与向量的运算类比
11、,圆锥曲线间的类比等.对点训练3在平面直角坐标系中,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=,类比可得在空间直角坐标系中,点(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距离为()答案:A解析:类比可得,点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为考点三考点三演演绎推理推理例4(1)(2022江苏沭阳如东中学开学考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断,有下列四个命题:甲:f(x)是奇函数;乙:f(x)的图象关于直线x=1对称;丙:f(x)在区间-1,1上单调递减;丁:f(x)的周期为2.如果其中只有一个假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁(2)(20
12、22北京,15)已知数列an的各项均为正数,其前n项和Sn满足anSn=9(n=1,2,).给出下列四个结论:an的第2项小于3;an为等比数列;an为递减数列;an中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是.答案:(1)D(2)解析:(1)因为函数f(x)的图象连续不断,所以“函数f(x)在区间-1,1上单调递减”与“函数f(x)的周期为2”互相矛盾,即丙和丁中有一个为假命题,则甲、乙是真命题,故f(-x)=-f(x),且f(x+1)=f(1-x),故f(x+2)=f1-(1+x)=f(-x)=-f(x),故f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,即丁为假命题,故选D.规律方法 解
13、决逻辑推理问题的两种方法 假设反证法先假设题中给出的某种情况是正确的,并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾,则证明此假设是错误的,再重新提出一个假设继续推理,直到得到符合要求的结论为止枚举筛选法即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举,然后对各种情况逐个检验,排除一些不可能的情况,逐步归纳梳理,找到正确答案对点训练4现有三张卡片,每张卡片上分别写着蔬菜园、水果园、动物园三个景区中的两个且卡片不重复,甲、乙、丙各选一张去对应的两个景区参观,甲看了乙的卡片后说:“我和乙都去动物园”,乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”,则甲、丙同去的景区是.答案:水果园解析:因为甲看了乙的卡片后说:“我和乙都去动物园”,所以丙一定不去动物园,一定去蔬菜园、水果园,又因为乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”,所以乙一定不去水果园,一定去了蔬菜园、动物园,因此甲一定去了动物园、水果园,所以甲、丙同去的景区是水果园.
