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1、第七章第七章第四节直接证明与间接证明第四节直接证明与间接证明内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.掌握直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.掌握间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程和特点.1.综合法证明2.分析法证明3.反证法1.逻辑推理2.数学运算强基础强基础 固本增分固本增分1.直接证明 方法综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定
2、一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止证明思路由因导果执果索因证明流程PQ1Q1Q2QnQQP1P1P2得到一个明显成立的条件文字表达因为所以或由得要证只需证即证成立充分微点拨分析法是执果索因,实际上是寻找使结论成立的充分条件;综合法是由因导果,就是寻找已知的必要条件.2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出,因此说明假设错误,从而证明_的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:反设假设命题的结论不成立;归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;
3、结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.不成立矛盾原命题成立研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一综合法合法证明明例1.已知a0,b0,a2+b2=2.证明:(1)(a+b)(a3+b3)4;(2)a2b+b2a2.=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时取等号.(2)由题意可知,2=a2+b22ab0,0ab1(当且仅当a=b=1时取等号).0a+b2(当且仅当a=b=1时取等号).可得a2b+b2a2.规律方法 1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过
4、一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.对点训练1在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求证:5a=3b.证明:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为sinB0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以5a=3b.考点二考点二分析法分析法证明明例2已知a,b,
5、c,d都是正数.只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,即证2abcda2d2+b2c2,即证0(bc-ad)2,而0(bc-ad)2显然成立,故原不等式成立.规律方法 1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确
6、、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.对点训练2已知a,bR,可以得出:根据上述不等式,写出一个更一般的结论,并加以证明.解:一般性结论为:已知a,bR,m,n均为正数,若m+n=1,则ma2+nb2(ma+nb)2.证明:要证ma2+nb2(ma+nb)2,即证ma2+nb2m2a2+n2b2+2mnab,即证m(1-m)a2+n(1-n)b2-2mnab0,因为m+n=1,所以即证mn(a2+b2-2ab)=mn(a-b)20,因为m,n为正数,(a-b)20,所以mn(a-b)20显然成立,所以原结论成立.考点三考点三反反证法法
7、所以ab=1,假设a2+a2与b2+b2同时成立,因为a2+a2与b2+b2的解集分别为a|0a1,b|0b1,所以0ab1,与ab=1矛盾,故假设不成立,即a2+a2与b2+b2不可能同时成立.规律方法 反证法证明问题的一般步骤 反设假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)归谬将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)结论因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)对点训练3若a,b,cR,求证:一元二次方程x2+ax+b-1=0,x2+bx+c-1=0和x2+cx+a-1=0中至少有一个方程有实根.证明:假设这三个方程都没有实数根,则三个方程的判别式分别满足1=a2-4b+40,2=b2-4c+40,3=c2-4a+40,不等式两边分别相加,得a2+b2+c2-4b-4c-4a+120,即a2-4a+4+b2-4b+4+c2-4c+40,即(a-2)2+(b-2)2+(c-2)20,与(a-2)2+(b-2)2+(c-2)20矛盾,所以假设不成立,所以一元二次方程x2+ax+b-1=0,x2+bx+c-1=0和x2+cx+a-1=0中至少有一个方程有实根.
