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1、第第2 2课时利用导数研究函数的极值课时利用导数研究函数的极值、最大最大(小小)值值第三章第三章第二节第二节内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破强基础强基础 固本增分固本增分1.函数的极值与导数 极大值 极小值 极大值点 极小值点 微点拨1.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.有极值的函数一定不是单调函数.微思考对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的_条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示:必要不充分.极值点是f(x)=0的根,但f(x)=0的根不都是极值点,例如f(x)=x
2、3,f(0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最大(小)值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.微点拨极值只能在区间内取得(不包括端点),最大(小)值却可以在端点处取得,有极值的函数不一定有最大(小)值,有最大(小)值的也未必有极值;极值有可能成为最大(小)值,非常数可导函数最大(小)值只要不在端点处取,则必定在极值点处取.f(a)f(b)f(a)f(b)常用结论1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定
3、有最大(小)值.2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最大(小)值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值,则相应的极值一定是函数的最大(小)值.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一利用利用导数求函数的极数求函数的极值问题(多考向探究多考向探究)考向考向1 根据根据函数函数图象判断极象判断极值例1.已知函数f(x)的导函数为f(x),且y=f(x)的图象如图所示,则下列结论一定正确的是()A.当x=c时,f(x)有极小值B.f(x)没有极大值C.当x=b时,f(x)有极大值D.f(a)=0答案:A解析:在x=c附近的左侧,f(x)0,f(x)单调
4、递增,当x=c时,f(x)取得极小值,A正确;从图象上看f(x)=0有三个解,在a,c中间的一个解记为x0,则在x=x0附近的右侧,f(x)0,f(x)单调递增,当x=x0时,f(x)取得极大值,B错误;x=b是y=f(x)的极大值点,不是f(x)的极大值点,C错误;图形只是说明f(a)=0,至于f(a)是否为0,无法判断,D错误.规律方法 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f(x)的图象可以看出y=f(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可判断极值.对点训练1已知函数
5、f(x)的定义域为-,2,其导函数为f(x),函数y=sin xf(x)(x-,2)的图象如图所示,则f(x)()A.有极小值f(2),极大值f()B.有极大值f(2),极小值f(0)C.有极大值f(2),无极小值D.有极小值f(2),无极大值答案:D解析:当x(0,)时,sin x0,当x(-,0)(,2)时,sin x0,f(x)为R上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=ln a,当x(-,ln a)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增,故函数f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln
6、 a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.规律方法 求函数f(x)极值的一般解题步骤 对点训练2设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x(-1,+),当a=0时,g(x)=1,f(x)0,函数f(x)在(-1,+)上单调递增,无极值点.当a0时,=a2-8a(1-a)=a(9a-8),所以当x(-1,x1)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,f(x)
7、0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.当a0,由g(-1)=10,可得x1-10,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)有一个极值点.综上所述,当a0且a1)的极小值点和极大值点.若x1x2,则a的取值范围是.解析:依题意,f(x)=2axln a-2ex,x1,x2为方程f(x)=0的两根,x11,则g(x)在R上单调递增,此时由x1,x2为方程f(x)=0的两根,可知存在x0(x1,x2),使g(x)=0,所以g(x)在区间(-,x0)内单调递减,在区间(x0,+)内单调递增.又g(x1)=0,g(x2)=0,所以f(x)在区间(-,x1)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,在区间(x2,+)内单调递增,所以x1为f(x)的极大值点,x2为f(x)的极小值点,不符合题意,舍去.若0a0,求函数f(x)在区间m,2m上的最大值.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).
