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1、第三节定积分与微积分基本定理第三节定积分与微积分基本定理第三章第三章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义.2.了解微积分基本定理的含义.1.定积分的计算.2.利用定积分计算曲边多边形的面积.3.定积分在物理中的应用.1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强基础强基础 固本增分固本增分1.定积分的定义如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0 x1xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),
2、作2.定积分的几何意义(1)当函数f(x)的图象在区间a,b上连续且恒有f(x)0时,定积分 f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形(图中阴影部分)的面积.(2)一般情况下,定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形(图中阴影部分)面积的代数和,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.定积分可能取负值,但面积不能取负值微点拨定积分与曲边梯形的面积的关系:3.定积分的性质 4.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间a,b上连续的函数,并且F(
3、x)=f(x),那么 f(x)dx=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.这个结论又叫做牛顿莱布尼茨公式常用结论设函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则有:研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一定定积分的分的计算算A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S20)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积为()(2)由题意,所围成平面图形如图所示,所以抛物线y2=8x(y0)与直线x+y-6=0的交点坐标为(2,4),规律方法 利用定积分求平面图形面积的4个步骤 对点训练2(1)已知函数y=2cos x,x0,2和y=2的图象围成的一个封闭的平面图形的面
4、积是()A.4B.2C.4D.2答案:A解析:画出函数y=2cos x,x0,2的图象与直线y=2围成的一个封闭的平面图形,如图所示,根据定积分的几何意义,可得封闭图形的面积为(2)(2022江西新余一中三模)函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为.答案:12解析:围成的封闭图形的面积为考点三考点三定定积分在物理中的分在物理中的应用用例3(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是()答案:(1)C(2)36 规律方法 定积分在物理中的两个应用 对点训练3一物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在 s到6 s间的运动路程为()答案:C
