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1、农药作用下澳洲瓢虫和介壳虫的数量分析摘要自然界中不同种群存在相互依存，相互制约的关系，在农药的作用下，捕食者澳洲瓢虫的数量减少了，而食饵介壳虫的数量增多了，本文用volterra模型对这个现象作了合理的解释，并对这个模型进行了优化。用更简洁的方法解决了这个问题，并得出了一般情况下的volterra模型，使其更具有现实意义。问题重述介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解
2、释这个现象。问题分析美国瓢虫是介壳虫的天然捕食者，柠檬园主想用DDT进一步杀死介壳虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。这是一道典型的食饵捕食者模型题，由此，我们可以使用volterra模型来解决这个问题。模型假设：1. 澳洲瓢虫只以介壳虫为食。2. 瓢虫不吃因污染农药死亡的介壳虫。3. 澳洲瓢虫，介壳虫染上农药后会立即死亡，不会产生抗药性。4. 假设忽略种群内部的密度制约关系。定义符号说明：a:介壳虫的自然增长率 b:澳洲瓢虫的自然死亡率c:瓢虫捕杀介壳虫的能力 f:介壳虫对瓢虫的供养能力e:DDT对介壳虫作用造成的死亡率g:DDT对瓢虫作用造成的死亡率x:介壳虫数量 y:澳洲瓢虫数
3、量模型建立第一阶段：未考虑DDT作用时，可根据介壳虫和瓢虫一段时间内的增长率来构建微分方程：dx/dt=a*x-c*x*ydydt=-b*y+f*x*y可得它的轨线方程为dy/dx=(-b*x+f*x*y)/ ( a*x-c*x*y) 解得：alny+blnx=fx+cy+k 其中k为一个常数。xb*yaefx*ecy=z 1其中z为一个常数。由（1）式形式可知，它的曲线是相轨线，所以x,y为周期函数。用matlab可画出其图形如下：故稳定后介壳虫和瓢虫的平均变化率为0，可得：dxdt=a*x-c*x*y=0dydt=-b*y+f*x*y=0解得：y=a/c;x=b/f;此解为第二阶段的初值，
4、设为x0,y0;第二阶段：作用上DDT后，依据题意列出的微分方程为dxdt=a*x-c*x*y-e*xdydt=-b*y+f*x*y-g*y方程形式与第一阶段所列方程一致，故x,y仍为周期函数，待其稳定后，可得dxdt=a*x-c*x*y-e*x=0dydt=-b*y+f*x*y-g*y=0解得y=(a-e)/c;x=(b+g)/f可知yx0;所以当使用DDT后，介壳虫的数量增加，瓢虫的数量减少。模型优化Volterra模型在现实中的应用已经很广泛。但是，它忽略了种群内部的制约关系。此模型所预言的周期摆动情况，在很多食饵捕食者系统中是看不到的。第一阶段中的微分方程组并不意味着一般的模型，这是因为介壳虫和澳洲瓢虫并未为了有用的资源而在内部进行竞争。更一般的模型为：dxdt=a*x-c*x*y-h*x2dydt=-b*y+f*x*y-my2其中平方项反应了它们由于有限的资源而进行内部竞争，它的解一般不是周期的。
