函数表达式的求法

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1、第四讲函数解析式的求法重点：求解析式的方法难点：求复合函数的解析式教学目标：掌握求解析式的几种常用方法教学过程：一、导入新课复习函数定义(重点是构成函数的三要素)二、新课1求解析式的常用方法：(1) 待定系数法：例1.若f(x)是二次函数，其图象过原点，且f(1)1,f(-1)5.求:f(x).练习：1若一次函数f(x)满足fff(x)8x+7.求：f(x).小结：待定系数法适用于：已知所求函数解析式的一般形式；解法是：根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组，解出系数的值，代回所设解析式.(2)换元法：(配凑)例2.f(x)x2+1，求f(x+1)(2)f(x+1)x2+2x+2，求

2、f(x)练习：f(x+1)2x2+1，求f(x)例3.f(x-2)x2+5x，求f(x)练习：1.f(Jx+1)x2.已知：f(x+)x2+,求f(x)-xx2解法二：f(x+-)x2+(x+-)22,f(x)x22.xx2x小结：应用换元法求解析式的题型特征是：题中没有给出函数最简的解析式解法是：通过换元，找出原函数的解析式.(还可以用配凑)(3)函数方程法(消元法)例4.已知：f(x)+2f(x)2x.求:f(x).小结：例4的解法相当于消元法.消元法的特点是在所给解析式中f(x)与f(x)中的自变量互为相反的数，或f(x)与f(丄)x中的自变量互为倒数；得到相当于两个未知数的两个方程，求

3、解。(4)特殊值法：(选讲)例5对于一切实数x,y有f(x-y)，f(x)-(2x-y+1)x都成立，且f(0)，1.求f(x).小结：此类型题的特点是：条件是：对于一切实数x,y都成立.课后作业：求下列函数的解析式：1. 已知f(x)是一次函数，且ff(x)，4x+6,求f(x).(f(x)，2x+2或f(x)，-2x一6)1x12. 若f()=,求f(x).(f(x),)x1-xx-13. 若f(x-1)，x2+1,求f(x).(f(x)，x2+2)xx24. 若f()+2f(x)，x,求f(x).(f(x),x：)x3x45. 若f(3x2)，x2-x,求f.(f=9)6. 已知f(x)

4、-3f(-x)，2x+6,求f(x).(f(x)，2x-3)厶7. 已知3f(x5)+f(-x5)=4x,求f(x)的解析式.(f(x)=25x.)函数表达式的求法-，函数的迭代特征(1)f(x),f(x)，ff(x)；nn-1(2)f(x)，x+a,f(x)，x+na；n(3)f(x)，ax+b,fn(4)f(x)，x2,f，x2n；n(5)f-1f(x)，ff-1(x)，x；x21f(x)-；f(x)+f()，1；1+x2xax(7)f(x)，,f(x)+f(1x)，1；ax+a二，函数表达式的求法(1)拼凑成等号两端相同的形式已知f(x+1)=x+2x。求f(x)。解：f(X+1)=X+

5、2x+1-1=(X+l)21；f(x)=1。(2) 引入新的字母进行转化x3已知f()=9x+8，求f(x)。xx3338x19解：设t=,x=,f(t)=98f(t)=xt一1t-1t-18x19f(x)=x-1(3) 用多项式相等的法则确定系数已知fff(x)=27x+26，求f(x)。解：设f(x)=ax+b,fff(x)=a3xa2babb=27x26,a=3，b=2，f(x)=3x+2。1a3另：fff(x)=f(x)=a3x+b=27x26,31-aa=3，b=2，f(x)=3x+2。(4) 设制方程，消元求解(a)利用互为倒数关系，一般模式如：1已知af(x)+bf()=cx,(

6、a,b,cHO,a2丰b2)，求f(x)。x解：用-代替x后与原等式联立方程组得,xaf(x)bf()=cxx1xaf(-)bf(x)=-xccb解得，f(x)=(ax)。a2一b2x1，已知2f()+f(x)=x,(xHO)，求f(x)。x1解：2f()+f(x)=xx11,2x22f(x)+f()解得f(x)二一xx3x(b)利用互为相反数(或倒置)关系，一般模式如：，已知af(4x-3)+bf(3-4x)=5x,a2丰b2求f(x)。解:设t=4x+3,则3-4x=-1,5x=等E；将它们代入原式得af(t)+bf(-1)=45t154；用-t代替t,与上式联立方程组得,af(t)bf(

7、，t)=af(，t)bf(t)=5t154155t4(1)Xa-(2)Xb得,(a2一b2)f(t)二a5t154)-b(155t415(ab)15(a-b)4(a2一b2)4(a2一b2)f(x)=15t15+4(a一b)4(ab)15x15+4(a一b)4(ab)，已知3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x)。解：设t=x-1,-t=l-x,贝9，3f(t)+2f(-t)=2(t+1)3f(t)+2f(-t)=2(t+1)-(1)3f(-t)+2f(t)=2(1-1)解得f(t)=2t+22f(x)=2x+5。(5) 根据题意找出与题设所求的相关量的等价关系,进行字母代换。(一)

8、若f(x)=x+1，求f(x+1)关于直线x=2对称的直线方程。解：f(x)=x+1，则f(x+1)=x+2，设点A(x,y)在所求直线的图像上，点Ao(xo,yo)在f(x+1)的图像上，两点关于直线x=2对称，则有xo=4-x，y0=y将x0，y0代入得：y=6-x。(二) 在xR上，函数f(x)关于直线x=2对称，并且0,2上的解析式为f(x)=2x-l,求f(x)在2,4的解析式。解：设点A(x,y)在所求函数的图像上，点A0(x0,yo)为A关于x=2的对称点，则有x0=4-x,y0=y。因y0=2x0-将x0,y0代入得：y=7-2x。(6) 利用所含字母的“+”“-”号的变化以改

9、变定义域，再利用函数的奇偶性改变函数的“+”“-”号，进行等条件转化。如,已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=x/x-2/，求当xV0时，函数f(x)的表达式。解：设xV0,则-x0；又因f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x),因x0时，f(x)=x/x-2/,f(-x)=-f(x)=-x/x+2/,f(-x)=(-x)/(-x)-2/=-x/x+2/f(x)=x/x+2/。若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=，求函数f(x),g(x)的表达式。x-1解：由已知可得，f(-x)+g(-x)=d得：f(x)=R(奇函数);则有f(x)-g(x)，x-得：g(x

10、)=(偶函数)。-得：g(x)又有已知f(x)+g(x)=,x-1的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设f(x)是一次函数，且ff(x)=4x,3,求f(x)解：设f(x)=axb(a,0)，则ff(x)=af(x)+b=a(axb)b=a2xabbIa2=4a=2或a=-2ab+b=3b=旦b=3:,f(x)=2x1或f(x)=-2x3二、配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例2已知f(x)=x2(x0

11、)，求f(x)的解析式xx2解：*.*f(x)=(x)22，xA2xxxf(x)=x22(x2)三、换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。例3已知f(x1)=x2x，求f(x1)解：令t=x1，则t1，x=(t1)2f(x1)=x2x.f(t)=(t1)22(t1)=121.f(x)=x21(x1).f(x1)=(x1)21=x22x(x0)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数y=x2x与y=g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式解：设M(x,y)为y

12、=g(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点解得：y=6y点M(xy)在y=g(x)上.y，x2+Xfx，-x-4把代入得：y二6-y6-y，(-x-4)2+(-x-4)整理得y，一x2一7x一6五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组通过解方程组求得函数解析式。例5设f(x)满足f(x)-2f(丄)，x,求f(x)x解f(x)-2f(1)，xx显然x丰0,将x换成一，得：xf(1)-2f(x)，1xx解联立的方程组，得:3x例6设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)+g(x)=占，试求f(讶叱(x)的解析式解f

13、(x)为偶函数，g(x)为奇函数,.f(-x)，f(x),g(-x)，-g(x)又f(x)+g(x)，、，x-1用一x替换x得:f(一x)+g(一x)=一-x+1即f(x)-g(x)，丄x+1解联立的方程组，得f(x)，1，g(x)，1x2一1x2一x六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知：f(0)，1，对于任意实数X、y,等式f(x-y)，f(x)-y(2x-y+1)恒成立，求f(x)解；对于任意实数x、y,等式f(x-y)，f(x)-y(2x-y+1)恒成立，不妨令x=0，则有f(一y),f(0)-y(一y+1),1+y(y一1),y2-y+1再令一y，x得函数解析式为：f(x)，x2+x+1七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)=1,对任意的自然数a,b都有f(a)f(b)=f(ab)ab，求f(x)解f(a)+f(b)二f(a+b)-ab,a,beN，不妨令a=x,b=1，得：f(x)f(1)=f(x1)，x，又f(1)二1,故/(x1)-f(x)二x1