有限元的理论基础

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1、有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限 个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式， 借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式， 便构成不同的有限元方法。1. 加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法.(Weigh ted residual met hod WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值 问题近似解的数学方法。加权余量法是求

2、解微分方程近似解的一种有效的方法。设问题的控制微分方程为:在v域内L(u)-八0(5丄在s边界上B(u)- g = 0(5丄2)式中 :L、B分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g 为与未知函数u无关的已知函数域值；u为问题待求的未知函数当耳UKI血M艮汆-Li哼去求近協JWC时，礎拱旃览上比立个试肉工忙 叶一flit兵冇如下形式：辰岂匚旳=收51 3Th式中： I? 询九瑕牧. 也wv笨劝广义坐才黃；A；罠白 紀帝冏收弘晞就L仕死处船基扇疑由于什 斡貝如忖衣用覺W 的吃1吠W岂 UJjitL(5.1.3)1X入式吕Lt和式沾1.H比-悟14不刻办“ 苦址I応二W-.f在V鹹内|也匸占幼

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5、有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。(3) 试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具有对称性，应充分利 用它。显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同选择得到不同 的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中 伽辽金法的精度最高。下而以內卵亠书为例. 介绍按权調效呀粪加权汆 站的五种基本粪似于弓讪元迷方;去，对內那法#/说，邛i除余幻-的空格犬江j）RW = Q 0-1J丄 e）L 子玻燧（別Ixhmidin Method 】起沽甘先将求带最丫划狰咸irT亍犠：.在毎个子蟻内令杠閑敌寻于1, 丽在

6、子域之夕h車权函数为埸. 也讯孙票在吝仆子域熨分别达Jivyt鬲故，那滋 它哲勺求解在形我上格si元计算2.配心知Collociition Method）子止乱法黑令徐在一个子域上的总利总学.而配点港JO丸余-d在扌甘定自令扛介.敢上寻于占”直區.敢甲衆対茂己,从匕总的权两收为:鷲：Du取I优独九）虽呗 它的赶义汝匕巳一分别代鼻求於域內任一成和頁己点，由于此涪只在配感上保证余曲为 辱 因 此刁W烬単作积对计:萍. 所乩足卑前单的扛 权余址法3 一讹小二乘法（匸閒战SQuate Me died）才告（直ht壮在把个求耳罪域上余-址的千方靜白仅百出1来腿盘甞i除僉bl的 系14収老哉1冬平方和対i

7、（c）,即八6=.用妙=l哄申 则泵g 頸件苗一心雰V廈皿=由此可见，本阳严咚 （r = L21丄伽辽金法G希灿hl白1讥1）奉法兀他余 朮与每一 盘讯放正交.也即咲坯附做作为权刚報n; = x.a - l 2 jj）当试两；敢&包含J于 淀番阳 欣 时,用本Y专此可苯阿狮斷解5.of Moment）本法与伽辽舍法棚似.也兀州浇轟葩狄杀作权阳恢i僧本法殆枢宙敕与伽辽金法又亦匿别，它与试函数无黄：，洞除余显 的条件足从宰开始的各恰矩为零.因此对一维闷題阵二0（i=L.2, L二卸问占鱼 壮弓/亦】肛丿弓壮.L用）具余吴推这卫种基本方疔右在讨定 垠敞兄够多（称做髙肝=比叹】时+ 基杭 度破此相塑.

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9、制方程相等效的积分“弱”形式。虚功原理：变形体中任意满足平衡的力 系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和 等于零。虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而言，虚位移原理不仅 可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。虚应力原理的力学意义：如果

10、位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所 作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满 足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指出，无论 是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的， 他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。3、最小总势能法应变能：作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以弹性能的 形式储存在物体中，即为应变能。由n个单元和m个节点组成的物体的总势能为总应变能和外力所做功的差：口=左出母d-1T最小势肓顋理g对于一个稳定的系统，相对于平衝位置发生的位移总会使系统的总势盲隠小，职文章来源：元计算科技发展有限公司