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1、目录摘要（3）问题提出 （3） 模型假设 （4） 符号说明 （4） 模型建立 （5） 模型求解 （6） 结果分析 （8） 参考文献 （9）摘要本模型建立了在雨中奔跑时淋雨最少与奔跑速度，雨量，降雨方向，路程远近的关系，从而得出在雨中如何奔跑才会淋雨最少的方法。关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向，路程的远近，奔跑的速度一、问题提出要在雨中从沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论 是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高 a=1.50 米（颈部以下），宽 b=0.5 米,厚 c=0.2m。设跑步距离d=1000m,跑步最大速度v =5m/s,雨速u=4m/s,
2、降雨量w=2cm/h,记m跑步速度为v,按一下步骤进行讨论17（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的 总林雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线跑步方向在同一平面以内，且与人体的夹角为0，如图一，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,0，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算0 =0，0 =30时总淋雨量。（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a, 如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w, a之间的关系，问速 度 v 为多大时，总淋雨量最小。（4）以总林雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑a的影响）
3、，并解 释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。二、模型假设1）、假设人体为一个长方体；2）、假设雨速为一个常数，且方向保持不变3）、假设人跑步的速度为匀速；4）、假设产生的影响各个因素相互独立。三、符号的说明D :人在雨中行走的距离（m）t:人在雨中行走的时间（s）v :人在雨中行走的速度（m/s）a,b,c :人的高度，宽度和厚度（m）w :降雨量（降雨强度，单位时间平面上的降下雨水的厚度，m/s）C :淋雨的总量（L）S：淋雨面积（m 2 ）u :雨滴落下的速度（m/s）p :雨滴的密度（p 1,p = 1时意味着大雨倾盆）0 :降雨的角度（雨滴落下
4、的方向与行走的方向之间的夹角）问题一:不考虑降雨的角度影响:模型一:当不考虑降雨角度时，假设淋雨的部位时全身所有部位，因此淋雨的面积为t = D / v ， 淋 雨 量 为 :S = bc + 2（ab + ac）。淋雨时间为：DSw Dbc + 2（ab + ac）!wC = twS = 一vv问题二:考虑降雨的角度影响（迎面）:模型二：0e 兀/2，淋雨的部位为顶部和前方。头顶部淋 雨 量 为: C = （D / v）bc（ pu sin 0 ） ， 前方 的 淋 雨 量 为 :C = （D / v）ab（ p （u sin 0 + v）， 总 的 淋 雨 量 为：2C = C + C =
5、 DbpIcusin0+ a（usin0+v）,从表达式可以看出，雨中行走的速度12 v越快，淋雨量越小。问题三:考虑降雨的角度影响（背面）:模型三：兀/2 0 兀，雨滴将从身后落下（设0 =兀/2 + a ）(1) : v u sin a行走的速度快于雨滴的水平运动速度，此时可以想象人在追赶雨滴，雨水淋在胸前，淋雨量为C = pbDa (v - u sin a )/v。总的淋雨量为4C = C + C = pbD.c cos a + a(v - u sin a)/ v。14数学模型为兀 /2 0 兀，v u sin a 兀 / 2 0 u sin a这样得到淋雨量的C C + C = pbD
6、uc cos a + a(u sin a - v)1/v| C + C = pbDuc cos a + a(v - u sin a)/ v14两个式子都是速度的减函数，第二个式子中关于v 的增减性取决于c cos a - a sin a是否大于零，而这需要看人的体形决定。五、模型求解5.1 问题一的求解D = 1000m, a = 1.5m, b = 0.5m, c = 0.2m, w = 0.2cm / h, v = 5m / s 将上述数据代 入模型一进行求解，有DSwDbc + 2(ab + ac)hC = twS =vv1000= 2.444L3600005.2 问题二的求解：由模型二
7、知：雨中行走的速度越快，淋雨量越小。所以取v = 5m/s时淋雨 m b.5*0.2 + 2(1.5*0.5 +1.5*0.2)*0.2 虫 1000量最少。当 0 二 0。时：C = C + C = Dbp Icu sin 9+ a (u sin 9+ v)L 0.069L12 v当 9 二 30。时：C = C + C = Dbp Icu sin 9+ a (u sin 9 + v)= 0.606L。12 v5.3问题三的求解：由模型三可知当速度越快时，淋雨量越少。所以取v二5m/s时淋雨量最少。m当 a 二 30。:(1) v u sin a时c cos a - a sin a小于零，是
8、关于v的增函数，所以速度应当最小，即速度为v二2m/s，此时C = pbDuc cos a + a(v 一 u sin a)/ v = 0.024L5.4问题四、问题五的求解：1.人行走的路线为直线，行走距离为d,跑步最大速度v= u = 5m smax2.雨的速度不变，记为：w =选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v = (u,0,0)，则行走的时间为lfu。 ,v , v )x y z3.-u, v , v )xy z人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为a : b : c 单位时间内的淋雨量正比于|v - u|a + vx相对速度：v = w - u =-u|a + v b + |v
9、 |clb + |v |c，从而总淋雨量正比于 yzxv |v - ula + k 丿l. u、=x已知L, v , a求u为何值是R(u)最小？(行走的时间为Vu)c0)vb +vyz1. v0xL(a + v-x-R(u )=L(a一 v )x + Luu vxuvxv a; v a;的情形(有最小值)v a时，u = v才使R(u)取最小值R = La v。xxminx当v a 0时，取u二v可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它xx情况下，应使u尽可能的大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常 识。六、结果分析通过对以上模型的分析，我们可以知道，在雨中行走时，并非跑的越快，淋 的
10、雨就越少，要使身上淋的雨最少，除了要考虑降雨角度外，还要考虑降雨速度， 根据降雨角度和降雨速度来选择自己在于雨中的行走速度，如果雨是迎着前进的 方向落下，应以最大速度跑完全程，如果雨是背后落下，这时应该控制在雨中的 速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。七、参考文献1 王晓东，计算机算法设计与分析，北京：电子工业出版社,2005.2 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社2003.目录摘要(11)问题提出 (11) 问题分析 (12) 模型假设 (12) 符号说明 (13) 模型建立 (13) 模型求解 (13) 结果分析 (15) 模型评价 (15) 参考文献 (16
11、)摘要本问题是一个规划问题，本文首先了解到该储蓄对员工的上班时间的规定， 人员数量，以及员工工薪问题上的约束等各方面的条件，然后通过对各个时期， 各类服务员人数设定一些未知量，建立规划表达式，运用lindo软件求解，解出 在该储蓄所能够服务到位的情况下，花费最低的费用。关键词：人员管理,聘用问题,规划分析,优化模型二、 问题提出某储蓄所每天的营业时间是上午 9：00 到下午 5:00，根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：时间段（时）9-1010-1111-1212-11-22-33-44-5服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从
12、上 午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排一小时的午 餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过 3 名的半时服务员，每个半小时服务员必须 连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？ 如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量 没有限制，每天可以减少多少费用？二、问题分析本问题是规划模型。储蓄所以各种约束条件来完成最优的花费计划，我们依 据对服务员各个时间段所需人员数，但对于各个类型的服务员的工资价格，以及 所能聘请人数约束的条件，我们对于各个时间段、各个类型服务员所聘请人数假 设了未知量，在达到能在满足约束情况下又可以服务到位，建立规划模型。 2.1、问题一的关键因为全时工数越少，越省钱，半时工数量受限制，所以我们可以看出，因为 下午最后两小时要求人数最多，所以这时要用半时工，还有中午的时候，由于全 时工要休息一小时，并且12-1点要 6人大于1-2 点所需人数。所以可以认为部 分半时工从12 点开始工作。2.2、问题二的关键:不用半时工时，全时工要满足中午两个小时人数够，而且下午最后一小时人 数够。2.3、问题三的关键：半时工人数不限制，则全部雇佣半时工最省钱。三、模型假设1. 假设储蓄所可以随时
