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1、高等数学 1 系 专业 班 姓名 学号 第一节 多元函数的基本概念一选择题 1函数的定义域 C （A） （B） （C） （D） 2设，则 A （A） （B） （C） （D） 3设，且当，时，则= D （A） （B） （C） （D） 4若，则= B （A） （B） （C） （D）二填空题 1设的定义域为 2已知，则 3已知，则= 三计算题 1解：原式= 2解：原式= 3解：原式= 4函数在何处是间断的 解：因为函数在这条抛物线上是无意义的， 所以该函数在这条抛物线上处处间断。四证明极限 不存在.解：令.则当 时, , 且 = 显然随着的变化而变化, 所以极限不存在.高等数学 1 系 专业 班 姓
2、名 学号 5. 2 偏导数与全微分 (1)一 选择题 1. 设，则= B （A） （B） （C） （D） 2. 设，则= C （A）0 （B）1 （C） （D） 3设，则= D （A） （B） （C） （D） 4设，则= C （A） （B）2 （C）3 （D）6 5设，则= B （A） （B） （C） （D）二填空题 1设，则 2设，则 3设，则= 4设，则 5函数的全微分 三计算题 1设，求， 解：= = 2设，求，解： 3设，求证 证明：， 高等数学 1 系 专业 班 姓名 学号 5. 2 偏导数与全微分 (2)一选择题 1设，而，则= A （A） （B） （C） （D） 2设，而，则在点
3、处的值为 B （A） （B） （C） （D）二填空题 1设，而，则= 2设，而，则= 3设，和具有二阶连续导数，则= 三计算题 1设，而，求 解： 2设，而，求 解： 2设具有一阶连续偏导数，求和 解：令. 则 3设，而，为可导函数，证明 解： 高等数学 1 系 专业 班 姓名 学号 5. 2 偏导数与全微分 (3)一选择题 1设，则= B （A） （B） （C） （D） 2设由所确定的函数，则= C （A） （B） （C） （D）3设，= C （A）0 （B）1 （C） （D）二填空题 1设函数有方程确定，则= 2设，则 三计算题 1设，求及 解：设 则， ， 所以 2设，求， 解：方程组等
4、式两边分别对求导得： 解得 ， 3设，求 解：等式两边先对求导得： ， ， 4设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足证：设 则 所以 证：方程两边分别对求导得 ， 即 从而 高等数学 1 系 专业 班 姓名 学号 53 微分法的应用 （1）一选择题 1曲线上点处的切线平行于平面，则点的坐标为 B （A） （B） （C） （D） 2曲面上点处的切平面与平面的夹角是 B （A） （B） （C） （D）3已知曲面上点处切平面平行于平面，则点的坐标是 C （A） （B） （C） （D）二填空题 1设曲线，在上的切线方程为 2曲面上点处的切平面方程是 三计算题 1求曲线 在点处的切线方程和法平面方
5、程。 解：将方程两边对求导得： 切向量 因此曲线在该点处的切线方程为：法平面方程为 即 2求由曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面在点处的指向外侧的单位法向量. 解：该旋转曲面方程为： 令， 则 所以旋转曲面在该点处的单位法向量为 3求曲面平行与平面的切平面方程. 解：令，则 又平面的法向量为 根据题意知 ， ，从而，切点为 所以该曲面平行与平面的切平面方程为： 高等数学 1 系 专业 班 姓名 学号 53 微分法的应用 （2）一选择题 1函数的驻点是 D （A） （B） （C） （D） 2函数 的极值点是 D （A） （B） （C） （D）二计算题 1求的极值 解： 由 得驻点 又 在点处，且，所
6、以在点处取得极大值0； 在点处，且，所以在点处取得极小值； 在点处，所以在点处没有极值； 在点处，所以在点处没有极值。 2求函数在条件下的最大值解：作拉格朗日函数 令 解得 所以是函数在条件下的最大值 3求内接于半径为的球且有最大体积的长方体.解：设长方体的长,宽,高分别为。则 长方体的体积 ，且 作拉格朗日函数 令 解得 所以内接于半径为的球的长方体的体积最大为 。4求曲面到平面的最短距离. 解：设为曲面上任意一点，则该点到平面的距离为 作拉格朗日函数 令 解得 或 又， 所以曲面到平面的最短距离在点 处取到，最短距离为。高等数学 1 系 专业 班 姓名 学号 综 合 练 习 题一选择题 1设，则 B （A）0 （B）1 （C） （D）2 2设，则 D （A）0 （B）1 （C） （D） 3设，其中和具有二阶连续导数，则必有 A （A） （B） （C） （D） 4若曲面在点P处的切平面平行于平面，则点P的坐标
