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1、 3 拓扑空间一、 基本概念 拓扑与拓扑空间 假定D是一个集，（就是的每个元素都是D的子集），且满足条件： (i) ，D； (ii) 任何一族属于的集的和集属于； (iii) 任何有限个属于的集的通集属于，那末称为D的一个拓扑，称这个有序对（见1，二）为一个拓扑空间.假定X=是一个拓扑空间，那末D的每个元素都称为X里的点，D的每个子集都称为X里的点集，特别，D称为X的承载点集.的每个元素（是D的特殊子集）都称为X里的开集，称为X的拓扑.在不至于引起误解的情况下，也往往把一个拓扑空间跟它的承载点集混为一谈. 凝固拓扑与分散拓扑 注意，任何一个集D的拓扑总是存在的.比如，D就是D的一个拓扑，称为D
2、的凝固拓扑，称为一个凝固空间，在这个凝固空间里，开集只有和D.还有也是D的一个拓扑，称为D的分散拓扑，称为分散空间，在这个分散空间里，任何点集都是开集. 诱导拓扑与拓扑子空间 假定X是一个拓扑空间，A是X里的一个点集.把X里的任何一个开集跟A的通集称为A的一个相对开集，那末A的所有相对开集全体是A的一个拓扑，称为A的诱导拓扑，称为X的一个拓扑子空间. 注意，凡是说拓扑子空间，它的拓扑一定是指诱导拓扑. 拓扑的粗细 假定1和2都是集D的拓扑，12，那末说1比2粗，或者说2比1细. 一个集D的每个拓扑都是的一个子集，因此是的一个元素，应用划分公理，一个集D的所有拓扑的全体是一个集，称为D的拓扑族，
3、而粗细关系是这个拓扑族里的一个小大关系，不过还不是次序，因为D的不同的拓扑不一定可以比粗细.因此，D的拓扑族按照这个粗细关系是一个分行集.不过，当D的元素不止一个时，D一定有最粗的拓扑，那就是凝固拓扑，也一定有最细的拓扑，那就是分散拓扑.拓扑亚基与拓扑的确定 虽然一个集D的任何一族子集的全体只要满足上面定义的条* 实数的进位制见第一章，1，一.件（i），（ii），（iii）就可以取做拓扑，但是要验证这些条件是否满足往往不很方便.通常要利用拓扑亚基的概念来确定一个拓扑. 假定s 是集D的一族子集（就是s），把D的所有掩盖s 的拓扑（就是s）的通集记作0，那末不难看到，0是一个拓扑，并且是掩盖s
4、的最粗的拓扑.0称为s 所繁殖的拓扑，而s称为0的一个亚基. 任何一个拓扑都是它自己所繁殖的拓扑，因此都是自己的一个亚基. 由这定义知道，集D的任何一族子集可以繁殖出一个唯一的拓扑来. 例1 （一维实数空间R1）把实数全体记作R1.由所有区间（a，b）（当ab，（a，b）表示空集）的全体所繁殖的拓扑1称为R1的普通拓扑.以后如果没有另外说明，就把R1当作具备这个普通拓扑的拓扑空间，称为一维实数空间. R1当作集看还有别的拓扑，除凝固拓扑、分散拓扑外，比如由所有的半闭区间（a，b（就是x| ，当ab时，（a，b表示空集）全体也繁殖出一个拓扑来.但是这些都不是普通拓扑，如果要采用这些拓扑，要另外声
5、明. 拓扑基 假定s 是一个拓扑空间X里的一族开集的全体.如果X里任何一个开集都是一族属于s 的开集的和集，那末称s为X的拓扑的一个基.显然X的拓扑自己就是自己的一个基. 由这定义知道，如果s 是拓扑空间X的拓扑的一个基，那末一定是X的拓扑的一个亚基. 定理 一个集D的一族子集的全体s 是它所繁殖的拓扑的一个基的充分必要条件是：对任何As，任何Bs 和任何xAB，存在Cs,使xCAB. 因此可以看到，所有实数区间（a，b）的全体是R1的普通拓扑的一个基，因为属于任何两个区间的通集的任何一个实数x，一定属于这个通集的一个子区间，因此还知道R1里的任何一个开集都是区间的和集. 开邻域、邻域与基本邻
6、域 假定一个拓扑空间里的一点x属于一个开集，那末称这开集为x的一个开邻域.假定一个点集掩盖x的一个点邻域，那末称这点集为x的一个邻域.假设x的一个开邻域属于这空间的拓扑的基，那末称这开邻域为x的一个基本邻域. 一个拓扑空间里的一个点集S是开集的充分必要条件：属于S的每一点都至少有一个基本邻域被S所掩盖. 开集也可用基本邻域的概念来定义.这是通常利用拓扑基来确定拓扑的另一个办法.例如这样规定：假定S是一个实数集.如果对任何xS，存在一个区间（a，b）使x（a，b）S，那末称S为一个开集.所有这种开集全体正好就是R1的普通拓扑. 拓扑乘积空间 假定Xh|hH是一个拓扑空间族，Xh=,那末是h 的任
7、何一个元素，h是H的任何一个元素是的一个子集族，由这个子集族繁殖出的一个拓扑，称为这族h的乘积拓扑.把称为这族拓扑空间Xh 的拓扑乘积空间. 注意，|Ah是h的任何一个元素这个集族所繁殖的拓扑一般比乘积拓扑细.只有对有限个拓扑空间的乘积，才跟乘积拓扑一致. 在不至于引起误解的情况，这个拓扑乘积空间往往就记作它的承载点集，因为说到拓扑乘积空间，意思就是它的拓扑是乘积拓扑. n维实数空间与n维区间 把所有实数全体记作R1.由例1可知R1是一维实数空间.当n是一个正整数时，n个R1的拓扑乘积空间,记作Rn，称为n维实数空间. 如果把n个区间的直接积称为n维区间（如果其中某个（ai，bi）=的话，这个
8、直接积也当作理解），那末由拓扑乘积空间的定义知道，Rn的拓扑就是所有n维区间的全体繁殖出来的拓扑，而且所有n维区间的全体是这个拓扑的一个基.换句话说，Rn里的任何一个开集都是n维区间的和集.二、 点集的基本拓扑概念 内部外部边界包 假定S是拓扑空间X=里的一个点集，也就是SD，那末相对于S可以把X里的点分为三类： 1 内点与内部.如果对一点x存在一个开集V，使xVS，那末称x为S的内点. S的所有内点的全体，称为S的内部，记作N（S），S的内部是S的子集.2 外点与外部.S的余集DS的内点称为S的外点. S的所有外点的全体称为S的外部，S的外部是S的余集的子集. 3o 边界点与边界.既不是S的
9、内点也不是S的外点的点称为S的边界点. S的边界点的全体称为S的边界，记作B（S）. SB(S)称为S的包，记作=SB（S）. 它们之间的基本关系如下： 点集S的边界同时也是S的余集的边界. 点集S的包的余集就是S的外部；S的余集的包的余集就是S的内部. 点集S的包就是S的内部和S的边界的和集，也就是说=SB（S）=N（S）B（S）；注意，一般和不一定相等，也就是=N(S)B（N(S)）不一定成立. 处处稠密与无一处稠密 假定P和Q是一个拓扑空间里的点集，那末称P在Q里处处稠密.假定P的外部在Q里处处稠密，那末称P在Q里无一处稠密.注意，这里“P的外部”不能换成“P的余集”. 例如，有理数全体
10、在一维实数空间R1里处处稠密.无理数全体在R1里也是处处稠密.整数全体在R1里无一处稠密.一个不空区间（a，b）在R1里既不处处稠密也不无一处稠密. 开集与闭集 一个拓扑空间里的开集的概念是基本的（本节，一），一个开集的余集称为闭集.1 点集S为开集的充分必要条件是：S等于它的内部，或者说S的每个边界点都不属于S.2 点集S为闭集的充分必要条件是：S等于它的包，或者说S的每个边界点都属于S.3 点集S既是开集又是闭集的充分必要条件是：S的边界是空集.例如和D都是既开又闭的.4 点集S不是开集也不是闭集的充分必要条件是：B（S）S并且B（S）SB（S）. 例如在R1里，不空的区间（a，b）开而不
11、闭，半闭区间（a，b不开不闭，闭区间a，b闭而不开，有理数全体不开不闭，无理数全体不开不闭，整数全体闭而不开，R1既开又闭. 此外，由闭集的定义得到三个跟开集相对偶的性质：1 是闭集，D是闭集；2 任何一族闭集的通集是闭集；3 任何有限个闭集的和集是闭集. 孤立点、聚点与导集 假定S是拓扑空间里的一个点集，一点xS并且x有一个邻域G使GS=x，那末称x为S的孤立点. 假定y（表示S的包），但y不是S的孤立点，那末称y为S的聚点. 一点y是点集S的聚点的充分必要条件是：对y的任何一个邻域L，（Ly）S. 由定义知道，一个点集S的任何一个孤立点一定是S的边界点，而一个点集的任何一个内点一定是S的聚
12、点，但是倒过来说显然不行. S的聚点的全体也称为S的导集，记作S.S的包可以表示为： =SS=（S的孤立点的全体）S 孤立点集、自密集与完全集 对一个拓扑空间里的任何一个点集S，这空间里的全部点可以分为三类：S的外点，S的孤立点，还有S的聚点.聚点包括S的内点和不孤立的边界点. 没有聚点的点集称为孤立点集（分散点集），因为它的诱导拓扑一定是分散拓扑. 没有孤立点的点集S（就是SS）称为自密集.特别如果S自密并且闭，那末S称为完全集.因为S为闭集的充分必要条件是：SS，所以S是完全集的充分必要条件是：S=S.三、 拓扑空间的分离程度可数公理 1. 不同分离程度的拓扑空间 T0空间 如果拓扑空间X
13、里任何不同的两点中至少有一点有一个邻域不包含另一点，那末称X为T0空间. T1空间 如果拓扑空间X里任何不同的两点一定各有邻域不包含另一点，那末称X为T1空间. X是T1空间的充分必要条件是：X里任何一个只包含一点x的集x是闭集. T2空间豪斯道夫空间 如果拓扑空间X里任何不同的两点一定各有邻域彼此没有公共点，那末称X为T2空间，也称分离空间. 正则空间 假定对拓扑空间X里任何一个闭集S和任何一点xS，一定有两个开集U和V，使US，Vx且UV，那末称X为正则空间. T3的空间 正则的T1空间称为T3空间. 正常空间 假定对拓扑空间X里任何两个没有公共点的闭集A和B一定有两个开集U和V使UA,V
14、B且UV=，那末称X为正常空间. T4空间 正常的T1空间称为T4空间. 例如n维实数空间就是T4空间. 定义所说的分离程度强弱次序如下： 正常 正则 T4 T3 T2 T1 T0 箭头表示“必是”.如T4空间必是T3空间，又必是正常空间.至于正常和正则是不能比较分离强弱程度的，它们跟T2 ,T1与T0也是不能比较的.2. 可数性 邻域基 假定s 是拓扑空间里一点x的一个邻域族，对x的任何一个邻域U，一定存在Vs 使VU成立，那末称s 为x的一个邻域基. 合盖族 假定一族点集的和集掩盖一个集S，那末称这族点集的全体是S的一个合盖族. 第一可数空间 假定拓扑空间X里任何一点有可数的邻域基，那末称这个空间为第一可数空间（“满足第一可数公理”的空间）. 林德略夫空间 假定一个拓扑空间里任何一个点集的任何一个合盖开集族有可数的子合盖族，那末称这个空间为林德略夫空间. 可分空间 假定在
