《复数复习提纲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数复习提纲（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复数一、知识点梳理: l、i的周期性：i4=1, 所以，i4n+l二i, i4n+2=l,i4n+3二i,i4n=1(n e Z )i 4 n + i 4 n+1 + i 4 n+2 + i 4 n+32、复数的代数形式：a + bi (a,b e R)a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。C = a + bi I a,b e r叫做复数集。虽RC.3、复数相等：a + bi = c + di o a = c且b=d ； a + bi = 0 o a = 0且b=0实数(b=0)4、复数的分类：复数Z =a + bi v虚数(b丰0)一般虚数(b丰0, a丰0) 纯虚数(b丰0, a = 0
2、)虚数不能比拟大小，只有等及不等。即使是3 + i,6 + 2i也没有大小。5、复数的模：假设向量OZ表示复数z，那么称OZ的模r为复数z的模,|Z =I a + bi I= a2 + b2 ；积或商的模可利用模的性质1|z z 1 = |z |zI，21n 1 rn6、复数的几何意义：复数z = a + bi (a, b e R )一对应复平面内的点Z (a, b)复数Z = a + bi(a,b e R) o 平面向量OZ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式
3、的加减运算复数 z 及 z 的和：z+z =(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. (a,b,c,d e R)1212复数 z 及 z 的差：z-z =(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i. (a,b,c,d eR)1 2 1 2复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数 z =a+bi，z =c+di(a,b,c,d e R)； OZ = OZ + OZ =(a，b) + (c,1212d) = (a+c， b+d) = (a+c) + (b+d) iOZ OZ，两个1 2复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(ac) + (b
4、d) i对应+由于Z 2 Z1复数的差z-z1及连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9. 特别地，zAB = zB-zA |zJ = I AB =匕- zJ为两点间的距离。I z-z 1=1 z-z IZ对应的点的轨迹是线段ZZ的垂直平分线；I z-z I二r , Z对应的点的1 2 1 2 0轨迹是一个圆；I z-z I +1 z-z I= 2a(|ZZ | 2a), z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：z?I2)11、复数的乘除法运算：复数的乘法：(a+bi)(c+di) = (acbd) + (bc+ad)i. (a,b,c,d e复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
5、* m n m+n m n mn n n n1，乙2，乙3丘(及 m,nWN 有： z z =z , (z ) =z , (z/?)二z?.一za + bi ac + bd be - ad，厂、复数的除法：f = (a+bi) - (c+di)=+i (a,b,c,d e R丿，分母实zc + di c 2 + d 2c 2 + d 22数化是常规方法1?、共轭复数：假设两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭 复数；特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；z = a + bi, z = a - bi (a, b e R),两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。
6、|z| =I z I= Pa2 + b2z - z = a2 + b2 e R, z - z =2 T 丄 I z 丨 z,z + z = z + z ,z - z = z - z ,I 1 =12121212(z 丿 z2211 I 1 13、熟记常用算式：=-i , (1 + i)2 = 2i, (l- i)2 = -2i ,= i,= -ii1 - i1 + i14、复数的代数式运算技巧：1 + i .1 - i=i(1 +i)2 = 2i (1 - i)2 =-2i 1 - i1+i1 丄 V3.o = 土 i丄=o?“1的立方根22 的性质：o 3 =1O2 = o 1 + O+ O
7、2 = 015、实系数一元二次方程的根问题：1当A = b2 - 4ac 0时，方程有两个实根x , x 1 2 _2当A = b2 -4ac 0 时,lal2 xJ =丫 (片+ Si2 一 4x1x2 =(2)当 A = b 2 4ac 0 时, x - x 0,即 0,12a那么x 2 l+l x1 = I|x + x那么lx1 x J =丫(x1+ x )2 4x x =2 1 2：b 2 一 4ac2当 A =b2 4ac 0时l+l x1 = 2|xJ = 2 J二、典例分析：(1+i)2例1.1复数(等于(i(1+i)2解析：复数(LB.1+i2i=1iC.1+ iD.1i=i(
8、l+ i) = 1 + i，选 C.2假设复数z同时满足z z =2i, z = iz i为虚数单位，那么z = 解：n Z iZ = 2i n Z = tt=i1 ；1i3设a、b、c、dGR,那么复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A. adbc=0B. acbd=0C. ac+bd=0D. ad+bc=0 解析：1a, b, c g R,复数(a+bi)(c+di) = (acbd) + (ad + bc)i 为实数，.：ad + bc = 0 ,选D；4 -m = 1 -ni,其中m, n是实数，i是虚数单位，则m + ni =1 + i(A)l+2i(B) l 2i(C)2
9、+i(D)2- i解析：= 1 -ni n m =(1 + n)+(1 -n)i，由 m、n 是实数，得 ,1 +11 + n = m应选择C。n = 1n m + ni = 2 + i ， m=2x y 5设x，y为实数，且口 +占=E，那么X + y =解析：y1 - 2ix(1+ i) y (1+ 2i)2 +5_=(2+5)+(2+丰)i51-3i5(1+ 3i)1013=+ i2 2x y 1 x 所以2 + 5 = 2且2 +2y 3解得 X= 1, y=5.所以x + y = 4。点评：此题考察复数的运算及性质，根底题。例2：1计算：-2y3 + i + 空厂1 + 2、：3i
10、1 i J答案：-1 + i(2设复数z满足关系z + I z 1= 2 + i，求z；解：设 z=a+bi a,b 为实数，由可得a + bi + pa2 + b2 = 2 + i由复数相等可得： +%+= 2，解得a =彳,b = 1，所以z =彳+ ib = 144设z=a+bi-x+yi a,b为实数复数问题实数化。(3假设x e C，解方程I x I= 1 + 3i - x解：设x=a+bi (a,bWR)代入条件得：W2 + b2 = 1 - a + (3 b)i，由复数相等的定义可得:a；+冬=1-a ,a=4,b=3,x=4+3i。3 - b = 0例3： (1)复数z满足I
11、z + i I2 - I z - i I2 = 1，那么z对应的点在复平面内表示的图形为AA.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线解：令 z=x+yix,yWR，那么 x2+(y+1)2 x2+(y1)2=1,Ay=1/4o 应选 A。(2设复数z满足：I z + 3-3il=3，求|z|的最大值及最小值；解：|z|的最大值为3、忌，最小值为3 ；zWC, |z 2|=l且复数z 2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设 z 2=a+ai,T|z 2|=l, a = 二,2z = 2 +空+旦i或z = 2-竺2 2 2【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，此题也可设z=a+bi再利用条件
12、，但运算 复杂。设z e C,1 1 z匕逅，那么复数u二z（1 + i），在复平面内对应的图形面积为。解：|u| = | z 卜 |l+i|2 |z|，:.、辽 W|u|W2，故面积 S 22（迈）2二 2兀。思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例4： z=1+i， a， b为实数，假设 s=z2+3 z 4,求 | s | ;z 2 + az + b假设三寸=1 -1，求a，b的值。解：ls = (l+i)2+3(l i)4=1 i,.l 1= 丫2。( a + b ) + ( a + 2)i2由条件-=1 i, ( a + b) + ( a + 2)i = 1 + i ，a = 1b=2思维点拨】利用复数的充要条件解题。z例5：设z e C,且是纯虚数，求I z + i I的最大值。z1解：令 z=x+yi x , yWR ，那么z = x 2 + y 2 xyz 1(x 1)2 + y 2(x 1)2 + y 2是纯虚数，即（x 一 $+y 2=扣丰o），由数形结合可知此题是求圆（x -1）2+y 2=4（ y丰）上的点到A（o，-1）的最大距离。 I z + i I max=|PA|max
