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1、求极值的若干方法1序言 一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类无条件极值问题即是函数中的自变 量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条 件限制的极值问题下面我们给出极值的定义定义1 1(P136)设函数f在点P的某邻域U (P )内有定义，若对于任何点P G U (P )，成立不 0 0 0等式f (P) f (P )，00则称函数f在点P取得极大(或极小)值，点P称为f的极大(或极小)值点极大值、极小值统00称为极值极大值点、极小值点统称为极值点2求解一元函数无条件极值的常用方法2.1 导数法定理1(刊42)设f在点X连续，在某邻域U
2、o (X ；5 )内可导.00(i) 若当 X G (X 一5 , X )时 f(x) 0,则 f 在点 X 取得极小0 0 0 0 0值(ii) 若当 X g (X 5,X )时 f(X) 0，当 x g (x ,X +5)时 f(X) 0，则 f 在点 X 取得极大0 0 0 0 0值由此我们可以推出当X G Uo (X ;5 )时，若f(x)的符号保持不变，则f (X)在X不取极值.00定理2 2(P142)设f在X的某邻域U(X0；5 )内一阶可导，在x = X0处二阶可导，且f (X) = 0，0 0 0f (X)丰 0 .若八x。) 0，则f在x0取得极小值.对于一般的函数我们既可
3、以利用定理1，也可以利用定理2，但对于有不可导点的函数只能用定理1例1求函数f (X)=x( X 2 1)的极值解显然f在X = 0, 土 1处不可导,f (x) = (3x2 一 l)sgn(x3 一 x)其中(x 丰 0, 土 1)3令f (x) = 0，得x = -，且f在x = 0, 1处导数不存在.当x e (一乜一1)时广(x) 0 , f (x)单调增加;当 x e f,0)时 f(x) 0 , f (x)单调增加;,1)时 f(x) 0 , f (x)单调增加,所以由定理1可以得到,32/3f (x)在x = r处取得极大值$ ，在x = 0 土1处取得极小值0 .若用定理2则
4、有f(x) = 6x sgn(x3 - x)其中(x丰0, 土 1),时，f(x)= 2J3 0 ；当 x = , f(x)= _2囂3 0,由此只能判断出f在x = 可 处取得极大值，而无法判断在不可导点x = 0,土 1处是否取得极值.定理2表明若函数/(x)在稳定点x0处的二阶导数八x)丰0，则稳定点x0-定是函数/(x)的 极值点，但如果遇到f( x) = 0时应用定理2无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别.定理3(pi43)设f在x某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x处n阶可导，且00f(k)(x ) = 0(k = 1,2，n -1), f (n)(x )主 0，则0 0(i)
5、当n为偶数时，f在x取得极值，且当f(n)(x ) 0时取极小值.0 0 0(ii) 当n为奇数时，f在x处不取极值.0例 2 求函数 f (x) = x4(x+1)3 的极值4解 由于f (x) = x3(x +1)2(7x + 4)，因此x = 0,-1,-7是函数f (x)的三个稳定点.f的二阶导数为f(x) = 6x2(x +1)(7x2 + 8x + 2),44由此得，f(o)=八-1) = 0及广(-7) 0 由于n = 3为奇数，由定理3知函数f在x = -1处不取极值，再求 f 的四阶导数f (4) (x) = 24(35 x3 + 45x 2 +15 x +1),有f(0)
6、0 .因为n = 4为偶数，故f在x = 0处取得极小值.综上所述，f (0) = 0为极小值，44 36912f (-)= (-)4(-)3 = 823543 为极大值，2.2对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂(比如含根号)的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们 可以利用f ( x)与fn ( x)有相同的极值点(极值的类型可能不同)这一特点，把复杂的函数转化为一 般函数再求解推论1 3(p36)设x为f (x)的极大(小)值点，则有：01)如果f (x) 0，则f (x)与fn(x)有相同的极值点和极值.2)如果f (x) 0，则f (x)与f2n+1(x)仍有相
7、同的极值点，但f (x)与f2n(x)的极值的类型恰恰相反，即x为f 2n (x)的极小(大)值点.0例3求函数y = (x-8)2 5(x +1)4的极值.解 因为 y5 二(x - 8)10(x +1)4，所以(y5)二 10(x - 8)9(x +1)4 + 4(x - 8)10(x +1)3 二 2(x - 8)9(x +1)3(7x -11).令(y 5)二 0，得 x1 = 1，x2 二 8，x3 = y，故当x e (-o-12(，8)时，(y5) 0，y5 单调增，所以y5在x = -1, x = 8处取得极小值0 ,在x二占1处取得极大值(辛叭斗8)4.114518 4根据推
8、论1得y在x = 1和x =8处取得极小值0,在x 处取得极大值(_7)2(_7)5 -若直接用对函数求导的方法可得441=2( x 8)( x +1)5 + 5( X 8)2( x +1)52( x 8)( x +1) + 4( x 8)21(x + 1)5显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点.我们假设f (x)在x的某邻域(x 5,x +5)内有定义，x是f (x)的第一类间0 0 0 0断点，根据极值的定义可得到f (x)在x处求极值的两个推论4(P11).0推
9、论2如果f (x ) lim f (x)且f (x ) lim f (x)则f (x)在点x处取得极大值0xtx。-00xtx+00f(x0)推论3 如果当x G (x 5,x )时，f (x)单调增加，当x G (x ,x +5)时，f (x)单调减少，0 0 0 0且f (x ) lim f (x)、f (x ) lim贝y在点x处取得极大值f (x ).0x t x0 00xt x0 +000类似地可以推出极小值I x3 x,x 0,例4求函数f (x) = c的极值.I x + 3, x 0 时，f(x) = (x3x ) = 3x3x (Inx +1)，1令f( x) = 0得稳定点
10、x =，e11当 0 x 时，f( x) 时，f( x) 0，ee故f (x)在x = 处取极小值f ( ) - ()e .ee e又当x 0，f (x)单调增加；当 0 x -时 f (x)二 3 x3 x (Inx +1) 0，(f f - f 2)(P ) 0时，f在点P取得极小值；xx0xx yyxy00(ii) 当f (P ) 0时，f在点P取得极大值；xx0xx yyxy00(iii) 当(f f -f 2)(P) 0时，f2n(x, y)与f (x, y)有相同的极值点和极值类型，即(x ,y )为f2n(x, y) 00的极大(小)值点；当f (x, y) 0时，f2n(x, y)与f (x, y)仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即(x ,y )为f2n(x, y)的极小(大)值点.00下证结论1) , 2)，1)证 由极值的定义知，若(x ,y )是f (x,y)的极大(小)值点，则对于(x ,y )的某一邻域 0 0 0 0内的任一点(x,y)都有f(x，y) f (x,y )(或f (x
