《数列中蕴涵的数学思想.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列中蕴涵的数学思想.doc（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列中蕴涵的数学思想 数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学思想与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习理解和应用过程，是学生形成数学能力的必由之路。而数列知识中蕴涵着丰富的数学思想。一、 函数与方程思想例1、在等差数列中，已知，那么= 。解法1：设数列的公差为d，则 解得 评析：方程思想突出研究已知量与未知量间的等量关系，通过列方程（组）达到求值的目的。本题利用等差数列的性质：来列方程组求解，思路简洁、明晰，体现了方程的思想。解法2：由于为等差数列，故前项和： 。令，则：。此时可视为的二次函数。由题意得： 解得： 则 评析：
2、函数思想贯穿于高中代数的全部内容，在研究数列时，函数与方程思想起着十分重要的作用。本题利用等差数列的求和公式：，在时，可视是关于的二次函数，从而利用方程组来求解。这就是函数思想的体现。例2、已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数。解：因为是等比数列，所以（为公比）即 所以 整理得 即 对于一切自然数都成立。而 ，所以 解得 或 所以 或。评析：此题从数列与方程的交汇处着手，根据等比数列的定义，得出一个关于自然数的恒等式，进而列方程组求解。这其中蕴涵着函数和方程的思想。二、 数形结合思想例1、设等差数列中，为前项的和，且 ，求。分析：等差数列的前项和公式为。当时，是的二次函数。设，又，故对称轴
3、为。由二次函数对称性知：。评析：数形结合就是使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应关系，使数量关系与图形性质相互转化。本题借助二次函数的对称性，利用数形结合思想使数列问题更直观、明了。例2、在数列中， 。问为何值时，取得最大值和最小值？yxO1解：，设函数，其图象如图所示：则满足的和的值为函数图象上的点。易知最小，最大。评析：数形结合就是“数”与“形”的相互转化，但解决过程中往往偏重于由“数”到“形”的转化。三、 分类讨论思想例1、已知等比数列的前项之和为，前项之和为，公比。令，求。解：当时，。当时， 若时，；若时，。综上，评析：分类讨论经常运用于含字母系数的数学问题，要注意正确进行
4、分类，选取恰当的标准，进行不重不漏的划分。本题中等比数列的前项和要分和两种情况分别讨论。例2、已知数列满足（，），且首项为，求通项。解：当时， （1）令，则 即 由（1）得： 是以为首项，公比为的等比数列。故当时，即，则是等差数列，故。综上，当时，；当时，。评析：本题中容易误认为，从而忽视对是否为1的讨论。解题中要注意讨论的分类标准和分类的完整。四、 化归与转化思想例1、等差数列前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ）。（A）130 （B）170 （C）210 （D）260 解：令，则，。故，则公差。 故选（C）项。评析：化归与转化思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换
5、使之转化，从而使问题得到解决。其特点在于灵活性和多样性，常用变换方法有一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等。由于本题是选择题，因此可利用化归思想中从一般到特殊的思想。对进行赋值，令，较易得出答案，使解法简单化。例2、定义：若数列对任意，满足（为常数）。则称数列为等差比数列。（1）若数列的前项和满足，求的通项公式，并判断该数列是否为等差比数列；（2）若数列为等差数列，试判断是否一定为等差比数列，并说明理由；（3）试写出一个等差比数列的通项公式，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列。解：（1）当时， （1）， （2）（1）-（2）得，所以，即。又，所以， 。任给，故数列为等
6、差比数列。（2）设等差数列的公差为，则。当时，（1为常数）。从而数列是等差比数列。当时，即数列是常数列时，不是等差比数列。（3）通项如 形式的数列，如，不是等差数列，也不是等比数列，但为常数，是等差比数列。评析：本题把一个新定义的数列问题，通过分析、类比，转化为等差（比）数列，把未知转化为已学、已知，体现了化归这一基本思想。五、 特殊与一般思想例1、已知数列中，且，其中=1，2，3，。（）求，；（）求的通项公式。解：（） （1）令，有： （2）令，有：同样，对递推式（1），令，有：； 对递推式（2），令，有：。（）将（1）式代入（2）式，得：又 将以上各式相加得：将上式代入递推式（1）得：因此
7、的通项公式为：当为奇数时，；当为偶数时，。评析：本题在由求、时，将所给递推式中的字母赋以特殊值1和2分别计算，体现了由一般到特殊的过程；在求几个特殊项的过程中，观察其规律，找到数列递推关系式的特点，从而找到解题思路和方法，这就是由特殊到一般的思维飞跃。六、有限与无限思想例1、已知是各项为正数的等差数列，、成等差数列又，() 证明为等比数列；() 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)解：（）设数列an的公差为d，依题意，由 得 即，得 因 当=0时，an为正的常数列 就有 当=时，,就有于是数列是公比为1或的等比数列（）如果无穷等比数列的公比=1，则当时其前项和的极限不存在。因而=0，这时公比=， 这样的前项和为则S= 由，得公差=3，首项=3评析：有限与无限思想经常是在考查其它数学思想和方法的同时进行考查，如在由特殊到一般的归纳思想和用数学归纳法证明时，都体现了有限与无限思想。本题是在考查极限概念和四则运算时，体现了有限与无限思想。随着高中课程的改革，这种思想的体现和运用必将随着新增内容而得到不断加强，应该引起我们的重视。
