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1、第 5 章 离散傅立叶变换及其快速算法本章介绍了数字信号变换技术的详细内容，主要有：离散傅立叶变换、快速傅立叶变换(FFT)、离散余弦变换、Z变换5.1 试验目的 理解信号变换的基本概念 理解离散傅立叶变换的基本概念 掌握快速傅立叶变换的应用方法 掌握离散余弦变换的应用方法 掌握 Z 变换的应用方法 了解 Chip z 变换的基本概念 掌握 Hilbeit 变换的初步应用 了解倒谱变换的基本概念5.2 信号变换概述信号是数字信号处理领域中最基本、最重要的概念。而数字信号变换技术，又是对信 号进行处理操作的最基本的有效途径之一。因此，数字信号变换技术，便成为数字信号处理 领域中专业人员所必须要张
2、我的一项最基本的技能。简单地说，数字信号变换技术就是为了处理操作上的方便和可能，通过数学变换，将一 个域内的信号变换映射倒另一个域内的信号的方法。常用的数字信号变换主要有：傅立叶变 换、离散余弦变换(DCT)、Z变换、Chirp z变换、Hilbert变换等。这些变换，都有着各 自的理论和其应用背景。MATLAB 中的工具箱对这几种典型的变换，都提供了相对应的、具体的应用函数。这可 以使得工程人员大大节省无谓的工作量，从而将主要精力放到新技术的创新和研发上面。下 面将对这几种变换的含义和应用进行具体的介绍。5.3 离散傅立叶变换傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。有限长序列作为离散信号的一种
3、，在数字信 号处理种占有着极其重要的位置。对于有限长序列，离散傅立叶变换不仅在理论上有着重要 的意义，而且有快速计算的方法快速傅立叶变换。所以在各种数字信号处理的运算方法中， 越来越起到核心的作用。下面，就对离散傅立叶变换及其 MATLAB 函数应用，结合实际工程实例做说明。5.3.1 傅立叶变换的几种形式1、非周期连续时间信号的傅立叶变换非周期连续时间信号x(t 的傅立叶变换 X ( j3) 可以表示为gX (j3 ) = J x (t) e - j3t dt逆变换为g1 gj 3tx (t) 一J x ( j 3 ) d 32兀g在这里，3是模拟角频率。可以看到，时域的连续函数造成频域的非
4、周期谱，时域的 非周期性造成频域的连续谱。结论：非周期连续时间函数对应于一非周期连续频域变换函数。2、周期连续时间信号的傅立叶变换周期为T的周期性连续时间信号x(t)傅立叶变换是离散频域函数，可表示为2J x (t) e jm3t d3T逆变换为x(t) = L X (jm 3 )ejm3d3m = g这就是经常称之为傅立叶级数的变换形式。在这里， 3 也是模拟角频率。可以看到 时域的连续函数造成频率域的非周期谱，频域函数的离散造成时域函数的周期性。结论：周期连续时间函数对应于一非周期离散频域变换函数。3、非周期离散时间信号x(n)的傅立叶变换x( j可以表示为逆变换为x (n) =j X (
5、ejro )ejrond 2冗在这里，o是数字频率，它和模拟角频率的关系为o =0T。可以看到，时域的取样对 应于频域的周期延拓，而时域函数的非周期性造成频域的离散谱。结论：非周期离散时间函数对应于一周期连续频域变换函数。4、周期离散时间信号的傅立叶变换周期离散时间信号 x(n) 的傅立叶变换离散傅立叶变换，可以表示为逆变换为x(n) = 1 为 X (k”2N可以看到，时域的取样对应于频域的周期延拓，而时域函数的周期性造成频域的离散谱。 结论：周期离散时间函数对应于一周期离散频域变换函数。5.3.2 离散傅立叶变换离散傅立叶级数变换是周期序列，仍不便于计算机计算。但离散傅立叶级数虽是周期序
6、列，却只有 N 个独立的数值，所以它的许多特性可以通过有限长序列延拓来得到。对于一 个长度为N的有限长序列x(n)，也即x(n)只在n = 0 (N - 1)个点上有非零值，其余皆为 零，即x (n),0 n N 一 10,其他把序列 x(n) 以 N 为周期进行周期延拓得到周期序列 x(n) ，则有x(n),0 n N 一 1其他0,其他所以，有限长序列x(n)的离散傅立叶变换(DFT)为X (k) = DFT x (n)=为 x (n )W -kn ,0 n N 一 1Nn - 0逆变换为x (n) = IDFT X (k)=为 X (k )W 一kn , 0 n A=dftmtx(4)
7、Ai=conj(dftmtx(4)/4运行结果A =1.00001.00001.00001.00001.00000 - 1.0000i-1.00000 + 1.0000i1.0000-1.00001.0000-1.00001.00000 + 1.0000i-1.00000 - 1.0000iAi =0.25000.25000.25000.25000.25000 + 0.2500i-0.25000 - 0.2500i0.2500-0.25000.2500-0.25000.25000 - 0.2500i -0.25000 + 0.2500i【实例5-2】如果x（n） = sin（ n冗/8） +
8、sin（ n冗/ 4）是一个N= 16的有限序列，用MATLAB求其DFT的结果，并画出其结果图，如图5 1所示。图 51 有限长序列的 DFT 结果图 程序N=16;n=0:1:N-1;%时域采样xn=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4);k=0:1:N-1;%频域采样WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk;subplot(2,1,1) stem(n,xn);subplot(2,1,2)stem(k,abs(Xk);运算结果Xk =Columns 1 through 50.0000-0.0000 - 8.0000i-0.0000
9、 - 8.0000i0.0000 -0.0000i0.0000 - 0.0000iColumns 6 through 10-0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i0.0000 - 0.0000iColumns 11 through 150.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i0.0000 - 0.0000i 0.00000.0000 - 0.0000i 0.0000- 0.0000i- 0.0000i0.0000 + 8.0000iColumn 160.0000 + 8.0000iDFT 的性质两个序列 x (n ) 和 x ( n ) 都
10、是 N 点有限长序列，设12DFT x ,1X (k) = DFT x 221、线性DFT ax (n) + bx = aX (k) + bX (k),式中 a, b 为任意常数。 1 2 1 22、圆周移位一个有限长序列x (n)的圆周移位定义x = x n + m R (n)mN N式中，x(n + m)表示x (n)的周期延拓序列x (n)的移位Nx(n + m) = x (n + m)N有限长序列圆周移位后的 DFT 为X (k) = DFT x (n + m) R (n) = W -加 X (k) mmN NN【实例5-3】求有限长序列x(n) = 8(0.4)”, 0 n N)error(N should bigger than or equal to the length of x1!) end if(length(x2)N)error(N should bigger than or equal to the length of x2!) x1=x1,zeros(1,N-length(x1)x2=x
