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1、4.2定积分的简单应用(二)复习：(1) 求曲边梯形面积的方法是什么？(2) 定积分的几何意义是什么？(3) 微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。 下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线y = f (x)和直线x = a，x二b及x轴围成的平面图形(如图甲)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，如何求V？分析:在区间a,b内插,y = f (x) ( a x b)的宽是Ax = x x ， ii ii1皿)入n 1个分点，使a = x；* 0 分割成n个垂直于x轴的Ax；=12,
2、n。这个“小长x 0)与直线x + y -6 = 0及y = 0所围成的图形绕x轴旋转思路:一周所得几何体的体积。解答本题可先由解析式求出交点坐标。再把组合体分开来求体积。解:y 2 = 8 x(y 0)x + y - 6 = 0得:y2 = 8x与直线x + y - 6 = 0的交点坐标为（2,4）112兀T所求几何体的体积为:V = f2 兀)2 dx + f6 兀(6 - x )2 dx = 16 兀 + 64310 2 3规律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或 差，然后，分别利用定积分求其体积。练习2：求由直线y = 2x，直线x二1与x
3、轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解：旋转体的体积:=f1 兀(2 x )2 dx =04兀3类型三：有关体积的综合问题: 例3求由曲线y = 2x2与y =、亦所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图T确定被积函数的边界T确定积分上、下限T用定积分表示体积T求定积分解：曲线y = 2x2与y = ；2x所围成的平面图形如图所示:设所求旋转体的体积为V根据图像可以看出V等于曲线y二圧，直线x二2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转 周所得的旋转体的体积（设为V1 ）减去曲线y = 2 x 2直线x二2与x轴围成的
4、平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为V 2）V =f2兀(乐)2dx = 2兀f2xdx = 2兀丄x212 = 4兀1 oo200兀匚7 兀1I 8兀X4dx = x_x5 |2 =-4 04 50512兀反思：结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。 练习3：求由y X+1，y = 2x2以及y轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。V = J3 兀(x + 1)dx - J3 兀 4x 4 dx =0 0 8151兀10误区警示：忽略了对变量的讨论而致错1y/ 203X试用a表示该四条曲线围成的平例：已知曲线y = x2， y =-和直线y = 0， x = a(a 0)x面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积。思路：掌握对定积分的几何意义，不要忽视了对变量a的讨论。y = x 2解：由11y =- l x由示意图可知：要对a与1的关系进彳丁讨论:当0 a 1时，VJ1 兀(x2)2dx +2 76兀dx =-5(0 a 1)所得旋转体的体积为V追本溯源：利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于:1) 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数2) 分清端点3) 确定几何体的构造4) 利用定积分进行体积计算
